Use o Teste da Razão para testar as séries: sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita escrita como sumn=1^infty n!n^n. O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. O Teste da Razão é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas comparando termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. A gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an da nossa série. Aqui, an = n!n^n. Então, precisamos encontrar an+1an:
an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
Aqui, cancelamos o an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^nn! = (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 e ficamos com n! no numerador.

Passo 5

Vamos simplificar mais a expressão:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (nn+1)^n cdot 1n+1
Sabemos que (nn+1)^n = (1 - 1n+1)^n, e esse limite é conhecido por convergir para 1e.

Passo 7

Calculando o limite:
L = 1e cdot 0 = 0
Porque 1n+1 tende a 0 quando n vai para infinito.

Resposta

Como L = 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=1^infty n!n^n converge.

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