Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=2^infty(-2 nn+1)^5 n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos usar o Teste da Raiz para determinar se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite da enésima raiz do termo geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita analisando o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Onde é o termo geral da série. A interpretação do limite é a seguinte:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = (-2nn+1)^5n da nossa série:
|an| = |-2nn+1|^5n = (2nn+1)^5n
Como o Teste da Raiz usa o valor absoluto, vamos considerar :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Raiz calculando o limite L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n](2nn+1)^5n = limn to infty (2nn+1)^5 :

Passo 5

Vamos simplificar o limite. Observamos que:
2nn+1 = 21 + 1n
Quando limn to infty 2nn+1 = 21 + 0 = 2 tende ao infinito, tende a 0, então:

Passo 6

Substituindo de volta no limite L = limn to infty (2nn+1)^5 = 2^5 = 32 :

Resposta

Como , pelo Teste da Raiz, a série diverge.

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