Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos usar o Teste da Raiz para determinar se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite da enésima raiz do termo geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita analisando o limite:
Onde é o termo geral da série. A interpretação do limite é a seguinte:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Como o Teste da Raiz usa o valor absoluto, vamos considerar :
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Raiz calculando o limite L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n](2nn+1)^5n = limn to infty (2nn+1)^5 :
Passo 5
Vamos simplificar o limite. Observamos que:
2nn+1 = 21 + 1n
Quando limn to infty 2nn+1 = 21 + 0 = 2 tende ao infinito, tende a 0, então:
Passo 6
Substituindo de volta no limite L = limn to infty (2nn+1)^5 = 2^5 = 32 :