Assumindo que o Lagrangeano é um polinômio de grau 2 em dotq, converta as 2 n equações
pi=partial Lpartial dotqi, dotpi=partial Lpartial qi
em 2 n equações para dotqi e dotpi, termos de q e p, usando a forma matricial deo Lagrangeano. Mostre que estas equações são as mesmas obtidas pelo formalismo Hamiltoniano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de mecânica clássica envolvendo o Lagrangiano e o Formalismo Hamiltoniano. Precisamos transformar duas equações que relacionam as coordenadas generalizadas , suas velocidades , e os momentos conjugados em um sistema de equações que expressem e em termos de e . Para isso, vamos usar a representação matricial do Lagrangiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Lagrangiano L = 12 dotq^T M(q) dotq + N(q)^T dotq + V(q) é dado como um polinômio de grau 2 nas velocidades . Isso significa que podemos escrever na forma matricial:
Aqui, é uma matriz simétrica de massa que pode depender das coordenadas , é um vetor que também pode depender de , e é o potencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos conjugados pi = partial Lpartial dotqi usando a definição:
p = M(q) dotq + N(q)
Como o Lagrangiano é quadrático em , a derivada vai ser linear em . Em forma matricial, isso fica:
Essa é a primeira parte que precisamos converter.

Passo 4

Queremos expressar dotq = M(q)^-1 (p - N(q)) em termos de e . A equação acima pode ser rearranjada para:
Aqui, assumimos que a matriz é invertível, o que geralmente é válido na mecânica clássica.

Passo 5

Agora, vamos calcular dotpi = partial Lpartial qi usando a outra equação dada:
dotp = 12 dotq^T partial Mpartial q dotq + partial Npartial q^T dotq + partial Vpartial q
Calculando a derivada do Lagrangiano em relação a , temos:

Passo 6

Substituindo dotp = 12 (M^-1(p - N))^T partial Mpartial q (M^-1(p - N)) + partial Npartial q^T M^-1(p - N) + partial Vpartial q que encontramos anteriormente na equação de :
Essa expressão relaciona com e , completando assim o sistema de equações desejado.

Passo 7

Agora, vamos comparar com o Formalismo Hamiltoniano. No formalismo de Hamilton, temos o Hamiltoniano H(q, p) = p^T dotq - L definido por:
dotq = partial Hpartial p, dotp = -partial Hpartial q
Usando as expressões que encontramos para e substituindo no Hamiltoniano, podemos derivar as equações de movimento de Hamilton:
Comparando com as equações que obtivemos a partir do Lagrangiano, vemos que elas são equivalentes, confirmando que o sistema de equações derivado coincide com o Formalismo Hamiltoniano.

Resposta

Portanto, ao converter as equações do Lagrangiano usando a forma matricial, obtemos um sistema de equações para e em termos de e . Essas equações correspondem exatamente às obtidas pelo Formalismo Hamiltoniano, validando a equivalência entre os dois métodos.

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