Assumindo que o Lagrangeano é um polinômio de grau
, converta as
equações
em
equações para
e
, termos de
e
, usando a forma matricial deo Lagrangeano. Mostre que estas equações são as mesmas obtidas pelo formalismo Hamiltoniano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de mecânica clássica envolvendo o Lagrangiano e o Formalismo Hamiltoniano. Precisamos transformar duas equações que relacionam as coordenadas generalizadas
, suas velocidades
, e os momentos conjugados
em um sistema de equações que expressem
e
em termos de
e
. Para isso, vamos usar a representação matricial do Lagrangiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Lagrangiano
é dado como um polinômio de grau 2 nas velocidades
. Isso significa que podemos escrever
na forma matricial:
Aqui,
é uma matriz simétrica de massa que pode depender das coordenadas
,
é um vetor que também pode depender de
, e
é o potencial.
Passo 3
Agora, vamos calcular os momentos conjugados
usando a definição:
Como o Lagrangiano é quadrático em
, a derivada vai ser linear em
. Em forma matricial, isso fica:
Essa é a primeira parte que precisamos converter.
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
e
. A equação acima pode ser rearranjada para:
Aqui, assumimos que a matriz
é invertível, o que geralmente é válido na mecânica clássica.
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a outra equação dada:
Calculando a derivada do Lagrangiano em relação a
, temos:
Passo 6
Substituindo
que encontramos anteriormente na equação de
:
Essa expressão relaciona
com
e
, completando assim o sistema de equações desejado.
Passo 7
Agora, vamos comparar com o Formalismo Hamiltoniano. No formalismo de Hamilton, temos o Hamiltoniano
definido por:
Usando as expressões que encontramos para
e substituindo no Hamiltoniano, podemos derivar as equações de movimento de Hamilton:
Comparando com as equações que obtivemos a partir do Lagrangiano, vemos que elas são equivalentes, confirmando que o sistema de equações derivado coincide com o Formalismo Hamiltoniano.
Resposta
Portanto, ao converter as equações do Lagrangiano usando a forma matricial, obtemos um sistema de
equações para
e
em termos de
e
. Essas equações correspondem exatamente às obtidas pelo Formalismo Hamiltoniano, validando a equivalência entre os dois métodos.