Assumindo que o Lagrangeano é um polinômio de grau , converta as equações
em equações para e , termos de e , usando a forma matricial deo Lagrangeano. Mostre que estas equações são as mesmas obtidas pelo formalismo Hamiltoniano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de mecânica clássica envolvendo o Lagrangiano e o Formalismo Hamiltoniano. Precisamos transformar duas equações que relacionam as coordenadas generalizadas , suas velocidades , e os momentos conjugados em um sistema de equações que expressem e em termos de e . Para isso, vamos usar a representação matricial do Lagrangiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Lagrangiano é dado como um polinômio de grau 2 nas velocidades . Isso significa que podemos escrever na forma matricial:
Aqui, é uma matriz simétrica de massa que pode depender das coordenadas , é um vetor que também pode depender de , e é o potencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos conjugados usando a definição:
Como o Lagrangiano é quadrático em , a derivada vai ser linear em . Em forma matricial, isso fica:
Essa é a primeira parte que precisamos converter.

Passo 4

Queremos expressar em termos de e . A equação acima pode ser rearranjada para:
Aqui, assumimos que a matriz é invertível, o que geralmente é válido na mecânica clássica.

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a outra equação dada:
Calculando a derivada do Lagrangiano em relação a , temos:

Passo 6

Substituindo que encontramos anteriormente na equação de :
Essa expressão relaciona com e , completando assim o sistema de equações desejado.

Passo 7

Agora, vamos comparar com o Formalismo Hamiltoniano. No formalismo de Hamilton, temos o Hamiltoniano definido por:
Usando as expressões que encontramos para e substituindo no Hamiltoniano, podemos derivar as equações de movimento de Hamilton:
Comparando com as equações que obtivemos a partir do Lagrangiano, vemos que elas são equivalentes, confirmando que o sistema de equações derivado coincide com o Formalismo Hamiltoniano.

Resposta

Portanto, ao converter as equações do Lagrangiano usando a forma matricial, obtemos um sistema de equações para e em termos de e . Essas equações correspondem exatamente às obtidas pelo Formalismo Hamiltoniano, validando a equivalência entre os dois métodos.

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(a) A vazão máxima da água;
(b) A diferença de pressão através da bomba, supondo que a diferença de elevação entre a entrada e a saida da bomba é desprezivel.
© a vazão da água e a diferença de pressão através da bomba se a perda de