Uma sistema dinâmico possui a Lagrangeana
onde e são constantes. Encontre as equações de movimento no formalismo Hamiltoniano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma Lagrangeana para um sistema dinâmico e pede para encontrarmos as equações de movimento no formalismo Hamiltoniano. Isso significa que vamos trabalhar com conceitos de mecânica clássica, especificamente usando as formulações de Lagrange e Hamilton para descrever como o sistema evolui no tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar da Lagrangeana para o Hamiltoniano, o que envolve calcular os momentos canônicos e usar as equações de Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangeana. Ela é dada por:
Aqui, e são as coordenadas generalizadas do sistema, e os pontos sobre elas representam derivadas em relação ao tempo (velocidades). As constantes e são parâmetros do sistema.

Passo 3

O próximo passo é calcular os momentos canônicos para cada coordenada. O momento canônico associado à coordenada é dado por:
Então, vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos expressar o Hamiltoniano , que é definido por:
Para isso, vamos substituir e nas equações acima e resolver para e . No entanto, isso pode ser complicado devido à presença de e em múltiplos termos. Por enquanto, vamos escrever o Hamiltoniano de forma geral:

Passo 5

Para simplificar, vamos tentar isolar e em termos de e . Contudo, devido à complexidade das equações, isso pode não ser trivial. Alternativamente, podemos usar as equações de Hamilton diretamente para encontrar as equações de movimento.
As equações de Hamilton são:
Mas como já temos o Hamiltoniano em termos de e , seria mais eficiente retornar à abordagem da Lagrangeana para encontrar as equações de movimento.

Passo 6

Vamos usar o formalismo de Lagrange para encontrar as equações de movimento e depois converter para o formalismo Hamiltoniano. As equações de Lagrange são:
Vamos aplicar isso para e .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, precisamos simplificar essas equações e expressá-las no formalismo Hamiltoniano. Isso envolve resolver as equações acima para , , e . Devido à complexidade das expressões, o resultado final das equações de movimento no formalismo Hamiltoniano será um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descrevem como , , e evoluem no tempo.

Resposta

As equações de movimento no formalismo Hamiltoniano para o sistema dado são:
Essas equações descrevem como as coordenadas e e seus momentos canônicos e variam ao longo do tempo no sistema considerado.

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