Partindo da formulação Hamiltoniana, obtenha outra formulação usando como variáveis (p, dotp) e uma função G(p, dotp, t). Construa a transformação de Legendre que leva H(q, p, t) a G(p, dotp, t) e deduza as equações de movimento em termos de G. Aplique ao caso particular H=p^2 / 2+omega^2 q^2 / 2 e comente os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente vai trabalhar com a formulação Hamiltoniana da mecânica clássica, que usa as variáveis (posição) e (momento). O objetivo aqui é transformar essa formulação para usar e (a derivada de em relação ao tempo) como variáveis, introduzindo uma nova função . Para isso, vamos usar a transformação de Legendre, que é uma forma matemática de trocar as variáveis que estamos usando para descrever o sistema. No final, vamos aplicar tudo isso a um Hamiltoniano específico e comentar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformação de Legendre. Ela é usada para mudar as variáveis de uma função, por exemplo, passando de para uma nova função . A ideia é trocar a variável por , mantendo como variável. Para isso, precisamos relacionar com derivadas de .

Passo 3

Sabemos que, na formulação de Hamilton, as equações de movimento são dadas por:
dotq = partial Hpartial p
dotp = -partial Hpartial q
Essas equações nos dizem como e evoluem no tempo. Vamos usar a segunda equação para expressar em termos de , já que queremos eliminar e trabalhar com e .

Passo 4

Resolvendo a equação q = -( partial Hpartial q )^-1 dotp para , temos:
Assumindo que não é zero, podemos expressar em função de e .

Passo 5

Agora, vamos definir a nova função G = H + dotp q usando a transformação de Legendre. A transformação de Legendre nos diz que:
Aqui, substituímos pela expressão que encontramos no passo anterior.

Passo 6

Substituindo G(p, dotp, t) = H(q(p, dotp, t), p, t) + dotp q(p, dotp, t) na expressão de :
Isso nos dá em termos de e .

Passo 7

Agora, precisamos deduzir as equações de movimento usando dotp = partial Gpartial dotp . As novas equações de movimento serão:
ddotp = -partial Gpartial p
Essas são as versões transformadas das equações de Hamilton para a nova função .

Passo 8

Vamos aplicar tudo isso ao caso específico do Hamiltoniano partial Hpartial q = omega^2 q .
Primeiro, calculamos q = -dotpomega^2 :
Então, , o que implica que:

Passo 9

Substituindo G = H + dotp q = p^22 + omega^22 (-dotpomega^2)^2 + dotp (-dotpomega^2) na expressão de G = p^22 + dotp^22omega^2 - dotp^2omega^2 = p^22 - dotp^22omega^2 :
Simplificando:

Passo 10

Agora, deduzimos as equações de movimento usando dotp = partial Gpartial dotp = -dotpomega^2 :
ddotp = -partial Gpartial p = -p
A primeira equação envolve de ambos os lados, o que sugere que , mas isso entra em contradição com a segunda equação que relaciona . Essa inconsistencia indica que a transformação usada não é totalmente adequada para este sistema específico.

Resposta

Ao aplicar a transformação de Legendre ao Hamiltoniano , obtemos a função . No entanto, as equações de movimento derivadas dessa transformação apresentam inconsist��ncias, sugerindo que essa abordagem não é adequada para o sistema analisado. Isso acontece porque, para sistemas harmônicos simples como este, a formulação Hamiltoniana é mais apropriada e direta para descrever as dinâmicas envolvidas.

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