Partindo da formulação Hamiltoniana, obtenha outra formulação usando como variáveis
e uma função
. Construa a transformação de Legendre que leva
a
e deduza as equações de movimento em termos de G. Aplique ao caso particular
e comente os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente vai trabalhar com a formulação Hamiltoniana da mecânica clássica, que usa as variáveis
(posição) e
(momento). O objetivo aqui é transformar essa formulação para usar
e
(a derivada de
em relação ao tempo) como variáveis, introduzindo uma nova função
. Para isso, vamos usar a transformação de Legendre, que é uma forma matemática de trocar as variáveis que estamos usando para descrever o sistema. No final, vamos aplicar tudo isso a um Hamiltoniano específico
e comentar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformação de Legendre. Ela é usada para mudar as variáveis de uma função, por exemplo, passando de
para uma nova função
. A ideia é trocar a variável
por
, mantendo
como variável. Para isso, precisamos relacionar
com derivadas de
.
Passo 3
Sabemos que, na formulação de Hamilton, as equações de movimento são dadas por:
Essas equações nos dizem como
e
evoluem no tempo. Vamos usar a segunda equação para expressar
em termos de
, já que queremos eliminar
e trabalhar com
e
.
Passo 4
Resolvendo a equação
para
, temos:
Assumindo que
não é zero, podemos expressar
em função de
e
.
Passo 5
Agora, vamos definir a nova função
usando a transformação de Legendre. A transformação de Legendre nos diz que:
Aqui, substituímos
pela expressão que encontramos no passo anterior.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Isso nos dá
em termos de
e
.
Passo 7
Agora, precisamos deduzir as equações de movimento usando
. As novas equações de movimento serão:
Essas são as versões transformadas das equações de Hamilton para a nova função
.
Passo 8
Vamos aplicar tudo isso ao caso específico do Hamiltoniano
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
, o que implica que:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, deduzimos as equações de movimento usando
:
A primeira equação envolve
de ambos os lados, o que sugere que
, mas isso entra em contradição com a segunda equação que relaciona
. Essa inconsistencia indica que a transformação usada não é totalmente adequada para este sistema específico.
Resposta
Ao aplicar a transformação de Legendre ao Hamiltoniano
, obtemos a função
. No entanto, as equações de movimento derivadas dessa transformação apresentam inconsist��ncias, sugerindo que essa abordagem não é adequada para o sistema analisado. Isso acontece porque, para sistemas harmônicos simples como este, a formulação Hamiltoniana é mais apropriada e direta para descrever as dinâmicas envolvidas.
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