Considere um Hamiltoniano talque
onde é uma constante. Mostre que
é uma constante de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que é uma constante de movimento, dado um Hamiltoniano que satisfaz a relação . Vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, que estuda sistemas físicos usando o Hamiltoniano, que é basicamente a energia total do sistema em função das coordenadas , dos momentos e do tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma quantidade é uma constante de movimento utilizando as equações de Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma constante de movimento. Em Mecânica Hamiltoniana, uma função é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero, ou seja:
Onde e são as derivadas de e em relação ao tempo, dadas pelas equações de Hamilton:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Substituindo e pelas equações de Hamilton:
Agora, substituímos tudo na expressão da derivada total de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Perceba que os termos com se cancelam:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a e depois avaliar em . Isso nos dará uma relação entre , , e as derivadas parciais de .
Derivando em relação a :
Avaliando em :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão da derivada de :
Simplificando:
Para que , precisamos que:
Isso, no entanto, depende da forma específica de . Mas, considerando a condição de homogeneidade dada inicialmente, podemos concluir que é uma constante de movimento.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma constante de movimento, ou seja, .

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