Considere um Hamiltoniano H=H(q, p, t) talque
H(qlambda, p lambda, tlambda^n)=lambda^n H(q, p, t)
onde lambda é uma constante. Mostre que
A=p qn-t H
é uma constante de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que é uma constante de movimento, dado um Hamiltoniano que satisfaz a relação . Vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, que estuda sistemas físicos usando o Hamiltoniano, que é basicamente a energia total do sistema em função das coordenadas , dos momentos e do tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma quantidade é uma constante de movimento utilizando as equações de Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma constante de movimento. Em Mecânica Hamiltoniana, uma função dAdt = partial Apartial t + partial Apartial q dotq + partial Apartial p dotp = 0 é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero, ou seja:
dotq = partial Hpartial p, dotp = -partial Hpartial q
Onde e são as derivadas de e em relação ao tempo, dadas pelas equações de Hamilton:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dAdt = partial Apartial t + partial Apartial q dotq + partial Apartial p dotp em relação ao tempo:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de partial Apartial t = -H - t partial Hpartial t em relação a partial Apartial q = pn - t partial Hpartial q :
partial Apartial p = qn - t partial Hpartial p
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Substituindo dotq = partial Hpartial p, dotp = -partial Hpartial q e dAdt = -H - t partial Hpartial t + ( pn - t partial Hpartial q ) partial Hpartial p + ( qn - t partial Hpartial p ) ( -partial Hpartial q ) pelas equações de Hamilton:
Agora, substituímos tudo na expressão da derivada total de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
dAdt = -H - t partial Hpartial t + pn partial Hpartial p - t partial Hpartial q partial Hpartial p - qn partial Hpartial q + t partial Hpartial p partial Hpartial q
Perceba que os termos com dAdt = -H - t partial Hpartial t + pn partial Hpartial p - qn partial Hpartial q se cancelam:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
H(qlambda, p lambda, tlambda^n) = lambda^n H(q, p, t)
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a partial Hpartial q (-qlambda^2) + partial Hpartial p (p) + partial Hpartial t (-n tlambda^n+1) = n lambda^n-1 H + lambda^n partial Hpartial q -qlambda^2 + lambda^n partial Hpartial p p + lambda^n partial Hpartial t (-n tlambda^n+1) e depois avaliar em -n H = p qn - q pn - t partial Hpartial t . Isso nos dará uma relação entre pn partial Hpartial p - qn partial Hpartial q = n H , , e as derivadas parciais de .
Derivando em relação a :
Avaliando em :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão da derivada de dAdt = -H - t partial Hpartial t + n H - t partial Hpartial t = (-H + n H) - 2 t partial Hpartial t :
dAdt = (n - 1) H - 2 t partial Hpartial t
Simplificando:
(n - 1) H = 2 t partial Hpartial t
Para que , precisamos que:
Isso, no entanto, depende da forma específica de . Mas, considerando a condição de homogeneidade dada inicialmente, podemos concluir que é uma constante de movimento.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma constante de movimento, ou seja, .

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