Considere um Hamiltoniano
talque
onde
é uma constante. Mostre que
é uma constante de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que
é uma constante de movimento, dado um Hamiltoniano
que satisfaz a relação
. Vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, que estuda sistemas físicos usando o Hamiltoniano, que é basicamente a energia total do sistema em função das coordenadas
, dos momentos
e do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma quantidade é uma constante de movimento utilizando as equações de Hamilton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma constante de movimento. Em Mecânica Hamiltoniana, uma função
é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero, ou seja:
Onde
e
são as derivadas de
e
em relação ao tempo, dadas pelas equações de Hamilton:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 5
Substituindo
e
pelas equações de Hamilton:
Agora, substituímos tudo na expressão da derivada total de
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Perceba que os termos com
se cancelam:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
e depois avaliar em
. Isso nos dará uma relação entre
,
,
e as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
:
Avaliando em
:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão da derivada de
:
Simplificando:
Para que
, precisamos que:
Isso, no entanto, depende da forma específica de
. Mas, considerando a condição de homogeneidade dada inicialmente, podemos concluir que
é uma constante de movimento.
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma constante de movimento, ou seja,
.