Assumindo que lim x 0 e^x-1x=1 e e^a+b=e^a cdot e^b para quaisquer a, b in R, mostre que se f(x):=e^x para todo x, então f^prime(p)=e^p para todo p in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a derivada da função f(x) = e^x é ela mesma, ou seja, f^prime(p) = e^p para qualquer número real p. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o limite que define a derivada e algumas propriedades da função exponencial que já foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando o limite. A derivada de f no ponto p é definida por:
f^prime(p) = limh 0 f(p+h) - f(p)h
Aqui, h é um pequeno incremento em x, e queremos ver como a função muda quando fazemos esse pequeno passo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função f(x) = e^x. Substituindo na definição da derivada, temos:
f^prime(p) = limh 0 e^p+h - e^ph

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Usando a propriedade dada de que e^a+b = e^a cdot e^b, podemos reescrever e^p+h como e^p cdot e^h. Assim, a expressão fica:
f^prime(p) = limh 0 e^p cdot e^h - e^ph

Passo 5

Fatorando e^p do numerador, temos:
f^prime(p) = limh 0 e^p cdot e^h - 1h
Agora, podemos separar o limite porque e^p não depende de h:
f^prime(p) = e^p cdot limh 0 e^h - 1h

Passo 6

Olha só, o limite que sobra é exatamente o que foi dado no enunciado:
limh 0 e^h - 1h = 1
Então, substituindo esse valor, temos:
f^prime(p) = e^p cdot 1 = e^p

Resposta

Portanto, mostramos que f^prime(p) = e^p para todo p in R.

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