Assumindo que e para quaisquer , mostre que se para todo , então para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a derivada da função é ela mesma, ou seja, para qualquer número real . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o limite que define a derivada e algumas propriedades da função exponencial que já foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando o limite. A derivada de no ponto é definida por:
Aqui, é um pequeno incremento em , e queremos ver como a função muda quando fazemos esse pequeno passo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função . Substituindo na definição da derivada, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Usando a propriedade dada de que , podemos reescrever como . Assim, a expressão fica:

Passo 5

Fatorando do numerador, temos:
Agora, podemos separar o limite porque não depende de :

Passo 6

Olha só, o limite que sobra é exatamente o que foi dado no enunciado:
Então, substituindo esse valor, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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Para e funções contínuas , mostre que a função dada por é contínua.
Mostre que o subconjunto é aberto em . Dica: é aberto em .
Considere contínua em e diferenciável em . É possível afirmar que a função é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)