Assumindo que
e
para quaisquer
, mostre que se
para todo
, então
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a derivada da função
é ela mesma, ou seja,
para qualquer número real
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o limite que define a derivada e algumas propriedades da função exponencial que já foram dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando o limite. A derivada de
no ponto
é definida por:
Aqui,
é um pequeno incremento em
, e queremos ver como a função muda quando fazemos esse pequeno passo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função
. Substituindo na definição da derivada, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Usando a propriedade dada de que
, podemos reescrever
como
. Assim, a expressão fica:
Passo 5
Fatorando
do numerador, temos:
Agora, podemos separar o limite porque
não depende de
:
Passo 6
Olha só, o limite que sobra é exatamente o que foi dado no enunciado:
Então, substituindo esse valor, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Para
e funções contínuas
, mostre que a função
dada por
é contínua.
Mostre que o subconjunto
é aberto em
. Dica:
é aberto em
.
Considere
contínua em
e diferenciável em
. É possível afirmar que a função
é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)