Considere f: [0,1] -> R contínua em [0,1] e diferenciável em 0,1. É possível afirmar que a função f' : (0,1) -> R é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo que é contínua nesse intervalo e diferenciável em todo ponto dentro dele, ou seja, em . A pergunta é: A derivada dessa função é sempre limitada nesse intervalo? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, diferenciabilidade e o que significa uma função ser limitada.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada em um intervalo se existe um número tal que, para todo no intervalo, o valor absoluto da função é menor ou igual a . Em termos matemáticos:
Agora, precisamos verificar se essa condição sempre se aplica para a derivada das funções que atendem às condições dadas.

Passo 3

Para investigar isso, vamos pensar em um contraexemplo. Ou seja, uma função que seja contínua em , diferenciável em , mas cuja derivada não seja limitada. Se encontrarmos tal função, mostramos que nem sempre é limitada.

Passo 4

Considere a função definida em . Vamos verificar se ela atende às condições:
  1. Continuidade em : A função é contínua em todo o intervalo porque a raiz quadrada de um número não negativo é sempre bem-definida e não apresenta saltos ou quebras.
  2. Diferenciabilidade em : Calculando a derivada de :
Esta derivada existe para todo em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a derivada no intervalo . Observamos que, conforme se aproxima de , o denominador tende a , fazendo com que cresça sem limite. Ou seja:
Isso significa que a derivada não é limitada nesse intervalo, pois não existe um número que limite seu valor absoluto.

Resposta

Não, a derivada nem sempre é limitada. Um exemplo é a função em , cuja derivada cresce sem limite conforme se aproxima de 0, demonstrando que não é limitada em .

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