Considere
contínua em
e diferenciável em
. É possível afirmar que a função
é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
que é contínua nesse intervalo e diferenciável em todo ponto dentro dele, ou seja, em
. A pergunta é: A derivada
dessa função é sempre limitada nesse intervalo? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, diferenciabilidade e o que significa uma função ser limitada.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada em um intervalo se existe um número
tal que, para todo
no intervalo, o valor absoluto da função é menor ou igual a
. Em termos matemáticos:
Agora, precisamos verificar se essa condição sempre se aplica para a derivada
das funções que atendem às condições dadas.
Passo 3
Para investigar isso, vamos pensar em um contraexemplo. Ou seja, uma função que seja contínua em
, diferenciável em
, mas cuja derivada
não seja limitada. Se encontrarmos tal função, mostramos que nem sempre
é limitada.
Passo 4
Considere a função
definida em
. Vamos verificar se ela atende às condições:
-
Continuidade em
: A função é contínua em todo o intervalo porque a raiz quadrada de um número não negativo é sempre bem-definida e não apresenta saltos ou quebras. -
Diferenciabilidade em
: Calculando a derivada de :
Esta derivada existe para todo
em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a derivada
no intervalo
. Observamos que, conforme
se aproxima de
, o denominador
tende a
, fazendo com que
cresça sem limite. Ou seja:
Isso significa que a derivada
não é limitada nesse intervalo, pois não existe um número
que limite seu valor absoluto.
Resposta
Não, a derivada
nem sempre é limitada. Um exemplo é a função
em
, cuja derivada
cresce sem limite conforme
se aproxima de 0, demonstrando que
não é limitada em
.
Exercícios relacionados
Assumindo que
e
para quaisquer
, mostre que se
para todo
, então
para todo
.
Para
e funções contínuas
, mostre que a função
dada por
é contínua.
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)