Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa determinar se a equação diferencial é linear, homogênea, separável ou exata. Para isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos e verificar se a equação se encaixa em algum deles.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma . Vamos rearranjar a equação dada:
Comparando com a forma padrão, vemos que não tem o termo isolado, então não é linear.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau. No nosso caso:
  • Termo tem grau
  • Termo tem grau
Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.

Passo 4

Vamos conferir se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma . Reescrevendo a equação:
Aqui conseguimos separar as variáveis e . Então, a equação é separável.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se . Identificando:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial é separável, mas não é linear, homogênea nem exata.

Exercícios relacionados

Considere contínua em e diferenciável em . É possível afirmar que a função é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Assumindo que e para quaisquer , mostre que se para todo , então para todo .
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)