Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa determinar se a equação diferencial
é linear, homogênea, separável ou exata. Para isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos e verificar se a equação se encaixa em algum deles.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma
. Vamos rearranjar a equação dada:
Comparando com a forma padrão, vemos que não tem o termo
isolado, então não é linear.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau. No nosso caso:
- Termo
tem grau - Termo
tem grau
Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.
Passo 4
Vamos conferir se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma
. Reescrevendo a equação:
Aqui conseguimos separar as variáveis
e
. Então, a equação é separável.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se
. Identificando:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
é separável, mas não é linear, homogênea nem exata.
Exercícios relacionados
Considere
contínua em
e diferenciável em
. É possível afirmar que a função
é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.
Assumindo que
e
para quaisquer
, mostre que se
para todo
, então
para todo
.
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
(a)