Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
f(x, y)=ccx^2 y^32 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0) no ponto (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente verificar se a função dada é contínua no ponto (0,0). A função é definida de duas formas: uma quando (x, y) neq (0,0) e outra quando (x, y) = (0,0). A matéria aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis, e a gente vai precisar entender o que é limite e como calcular ele em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f(x, y) é contínua num ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos saber se:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0)

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0). A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = x^2 y^32 x^2 + y^2
Para calcular esse limite, uma técnica comum é usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite quando r to 0.

Passo 4

Substituindo x e y por suas equivalentes em coordenadas polares:
f(r, theta) = (r cos(theta))^2 (r sin(theta))^32 (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 cos^2(theta) cdot r^3 sin^3(theta)2 r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^5 cos^2(theta) sin^3(theta)r^2 (2 cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^3 cos^2(theta) sin^3(theta)2 cos^2(theta) + sin^2(theta)
Agora, vamos analisar o comportamento de f(r, theta) quando r to 0.

Passo 5

Observando a expressão final:
f(r, theta) = r^3 cos^2(theta) sin^3(theta)2 cos^2(theta) + sin^2(theta)
Quando r to 0, o numerador r^3 cos^2(theta) sin^3(theta) tende a 0 porque r^3 tende a 0. O denominador 2 cos^2(theta) + sin^2(theta) é sempre positivo e não depende de r. Portanto, o limite é:
limr to 0 f(r, theta) = 0

Passo 6

Agora, vamos comparar o limite que achamos com o valor da função no ponto (0,0). A função define que:
f(0, 0) = 1
E o limite que calculamos é 0. Como 0 neq 1, não temos que o limite é igual ao valor da função no ponto.

Resposta

A função f(x, y) não é contínua no ponto (0,0) porque o limite quando (x, y) to (0,0) é 0, diferente do valor da função que é 1.

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