Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente verificar se a função dada é contínua no ponto . A função é definida de duas formas: uma quando e outra quando . A matéria aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis, e a gente vai precisar entender o que é limite e como calcular ele em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . A função para é:
Para calcular esse limite, uma técnica comum é usar coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite quando .

Passo 4

Substituindo e por suas equivalentes em coordenadas polares:
Agora, vamos analisar o comportamento de quando .

Passo 5

Observando a expressão final:
Quando , o numerador tende a porque tende a . O denominador é sempre positivo e não depende de . Portanto, o limite é:

Passo 6

Agora, vamos comparar o limite que achamos com o valor da função no ponto . A função define que:
E o limite que calculamos é . Como , não temos que o limite é igual ao valor da função no ponto.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando é , diferente do valor da função que é .

Exercícios relacionados

Mostrar que os seguintes limites não existem:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: