Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente verificar se a função dada é contínua no ponto
. A função é definida de duas formas: uma quando
e outra quando
. A matéria aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis, e a gente vai precisar entender o que é limite e como calcular ele em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua num ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. A função para
é:
Para calcular esse limite, uma técnica comum é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite quando
.
Passo 4
Substituindo
e
por suas equivalentes em coordenadas polares:
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
.
Passo 5
Observando a expressão final:
Quando
, o numerador
tende a
porque
tende a
. O denominador
é sempre positivo e não depende de
. Portanto, o limite é:
Passo 6
Agora, vamos comparar o limite que achamos com o valor da função no ponto
. A função define que:
E o limite que calculamos é
. Como
, não temos que o limite é igual ao valor da função no ponto.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
é
, diferente do valor da função que é
.
Exercícios relacionados
Mostrar que os seguintes limites não existem:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: