Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis , e . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos mostram como a função muda quando modificamos apenas uma das variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Como e são tratadas como constantes ao derivar em relação a , a função se comporta como uma função linear em :
A derivada de em relação a é 1, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, e são constantes. A função pode ser escrita como:
Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Similar ao caso anterior, e são constantes:
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir: