Mostrar que os seguintes limites não existem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de função de duas variáveis. A questão quer saber se o limite da expressão existe quando se aproxima de . Para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima de por diferentes caminhos. Se der valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: aproximar-se pelo eixo , ou seja, quando . Substituindo na expressão, temos:
Então, quando , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho: aproximar-se pela linha . Substituindo na expressão, temos:
Então, quando , o limite é .

Passo 4

Comparando os dois resultados: pelo caminho , o limite é , e pelo caminho , o limite é . Como os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: