Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Quando a gente deriva em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , porque é uma constante quando derivamos em relação a .
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função continua
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é , porque é uma constante. - A derivada de
em relação a é (usando a regra da potência: ).
Então,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Mostrar que os seguintes limites não existem:
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Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto