Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Quando a gente deriva em relação a , tratamos como uma constante.
A função é .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , porque é uma constante quando derivamos em relação a .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos como uma constante.
A função continua .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é , porque é uma constante.
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da potência: ).
Então,

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto