Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
f(x, y)=cy^4+3 x^2 y^2+2 y x^3x^2-y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) no ponto (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido. A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos verificar se ela é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor que a função assume nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos olhar para a definição da função:
f(x, y) = dfracy^4 + 3x^2y^2 + 2yx^3x^2 - y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
Queremos calcular .

Passo 4

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é tentar simplificar a expressão da função. Vamos fatorar o numerador:
y^4 + 3x^2y^2 + 2yx^3 = y^2(y^2 + 3x^2) + 2yx^3
Parece complicado de simplificar diretamente, então vamos tentar avaliar o limite por diferentes caminhos que se aproximam de .

Passo 5

Vamos primeiro considerar o caminho onde f(x, 0) = dfrac0 + 0 + 0x^2 - 0 = 0 :
Então, ao longo de , o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caminho onde f(0, y) = dfracy^4 + 0 + 00 - y^2 = -y^2 :
Aqui, o limite quando também é 0.

Passo 7

Vamos tentar um caminho mais geral, como f(x, kx) = dfrac(kx)^4 + 3x^2(kx)^2 + 2(kx)x^3x^2 - (kx)^2 = dfrack^4x^4 + 3k^2x^4 + 2k x^4x^2(1 - k^2) = dfrac(k^4 + 3k^2 + 2k)x^4x^2(1 - k^2) = dfrac(k^4 + 3k^2 + 2k)x^21 - k^2 , onde é uma constante:
Quando , esse limite também é 0, desde que (para não termos divisão por zero).

Passo 8

Até agora, vimos que ao longo de diferentes caminhos o limite de é 0. Porém, precisamos garantir que isso vale para qualquer caminho que se aproxime de .

Passo 9

Vamos usar uma estimativa geral. Observamos que o numerador tem termos de ordem e , enquanto o denominador tem . Podemos tentar comparar as potências de e para ver se o limite tende a 0.

Passo 10

Percebemos que, conforme , os termos do numerador diminuem mais rápido que o denominador, o que indica que o limite tende a 0.

Resposta

A função é contínua no ponto porque o limite dela quando se aproxima de é igual a .

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