Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a cada par de variáveis (x, y, z) duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando mudamos apenas essa variável, mantendo as outras constantes. Como queremos derivadas de segunda ordem, vamos derivar duas vezes, possivelmente em direções diferentes.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
novamente para obter
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é (regra da cadeia).
Derivando
em relação a
:
- Como não há
nessa parte, a derivada é 0.
Então,
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para obter
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é .
Derivando
em relação a
:
- Obtemos
.
Então,
Passo 7
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para obter
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é .
Derivando
em relação a
:
- Obtemos
.
Então,
Passo 9
Além das derivadas puras, também temos as derivadas mistas, que são derivadas parciais de segunda ordem em direções diferentes, como
,
, etc.
Vamos calcular, por exemplo,
.
Derivando
em relação a
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
em relação a :
Então,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
(As derivadas mistas
e
podem ser calculadas seguindo o mesmo método mostrado.)
Exercícios relacionados
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: