Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a cada par de variáveis (x, y, z) duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando mudamos apenas essa variável, mantendo as outras constantes. Como queremos derivadas de segunda ordem, vamos derivar duas vezes, possivelmente em direções diferentes.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a . A função é .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a novamente para obter .
Derivando em relação a :
  • A derivada de é (regra da cadeia).
Derivando em relação a :
  • Como não há nessa parte, a derivada é 0.
Então,

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a novamente para obter .
Derivando em relação a :
  • A derivada de é .
Derivando em relação a :
  • Obtemos .
Então,

Passo 7

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a novamente para obter .
Derivando em relação a :
  • A derivada de é .
Derivando em relação a :
  • Obtemos .
Então,

Passo 9

Além das derivadas puras, também temos as derivadas mistas, que são derivadas parciais de segunda ordem em direções diferentes, como , , etc.
Vamos calcular, por exemplo, .
Derivando em relação a :
  • Derivada de :
  • Derivada de em relação a :
Então,

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
(As derivadas mistas e podem ser calculadas seguindo o mesmo método mostrado.)

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Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto
Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: