Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de segunda ordem. A função que a gente vai trabalhar é
. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função, ou seja, as derivadas como
,
,
e
. Para isso, a gente precisa primeiro entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para chegar nas derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é obtida tratando
como uma constante e derivando em relação a
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 1, de
em relação a
é 0 (porque
é tratado como constante) e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para encontrar
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Isso porque tanto 1 quanto
são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Derivando a função original em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 0, de
em relação a
é 1 e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para encontrar
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Assim como antes, tanto 1 quanto
são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.
Passo 6
Por último, vamos encontrar as derivadas cruzadas
e
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
e
em relação a
.
Primeiro, derivando
em relação a
:
Depois, derivando
em relação a
:
Interessante notar que
, o que é uma propriedade comum em funções bem comportadas.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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no ponto