Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de segunda ordem. A função que a gente vai trabalhar é . Nosso objetivo aqui é encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função, ou seja, as derivadas como , , e . Para isso, a gente precisa primeiro entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para chegar nas derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. A derivada parcial de em relação a , denotada por , é obtida tratando como uma constante e derivando em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 1, de em relação a é 0 (porque é tratado como constante) e a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a novamente para encontrar .
Temos:
Derivando em relação a :
Isso porque tanto 1 quanto são constantes em relação a , então suas derivadas são zero.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Derivando a função original em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 0, de em relação a é 1 e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a novamente para encontrar .
Temos:
Derivando em relação a :
Assim como antes, tanto 1 quanto são constantes em relação a , então suas derivadas são zero.

Passo 6

Por último, vamos encontrar as derivadas cruzadas e . Isso significa que vamos derivar em relação a e em relação a .
Primeiro, derivando em relação a :
Depois, derivando em relação a :
Interessante notar que , o que é uma propriedade comum em funções bem comportadas.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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no ponto