Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) cos x-1+x^22x^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente nos limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para descobrir se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots . A função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor perto de cos x - 1 + x^22 = (1 - x^22 + x^424 - dots) - 1 + x^22 = x^424 - dots :
Então, substituindo isso no numerador:
Isso mostra que, para valores de próximos de 0, o numerador é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Isso representa a distância ao quadrado do ponto em relação à origem. Queremos ver como o numerador se comporta em relação a essa distância quando se aproxima de .

Passo 4

Substituindo a aproximação do numerador no limite, temos:
lim(x, y) to (0,0) x^424x^2 + y^2 = lim(x, y) to (0,0) x^424(x^2 + y^2)
Podemos simplificar dividindo por . Vamos considerar que é sempre positivo, exceto no ponto .

Passo 5

Para analisar esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde x^4x^2 + y^2 = (r cos theta)^4r^2 = r^2 cos^4 theta e limr to 0 r^2 cos^4 theta24 = 124 limr to 0 r^2 cos^4 theta , e é a distância até a origem ( ). Substituindo na expressão:
Então, o limite fica:

Passo 6

Como 0 <= r^2 cos^4 theta <= r^2 é limitado entre 0 e 1 para qualquer , temos:
E sabemos que . Pelo Teorema do Sanduíche, o limite de também é 0.

Passo 7

Portanto, o limite original é:
124 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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