Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente nos limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para descobrir se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. A função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor perto de
:
Então, substituindo isso no numerador:
Isso mostra que, para valores de
próximos de 0, o numerador é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Isso representa a distância ao quadrado do ponto
em relação à origem. Queremos ver como o numerador se comporta em relação a essa distância quando
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo a aproximação do numerador no limite, temos:
Podemos simplificar dividindo
por
. Vamos considerar que
é sempre positivo, exceto no ponto
.
Passo 5
Para analisar esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, e
é a distância até a origem (
). Substituindo na expressão:
Então, o limite fica:
Passo 6
Como
é limitado entre 0 e 1 para qualquer
, temos:
E sabemos que
. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite de
também é 0.
Passo 7
Portanto, o limite original é:
Resposta
O limite é igual a
.
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