Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente nos limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para descobrir se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . A função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor perto de :
Então, substituindo isso no numerador:
Isso mostra que, para valores de próximos de 0, o numerador é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Isso representa a distância ao quadrado do ponto em relação à origem. Queremos ver como o numerador se comporta em relação a essa distância quando se aproxima de .

Passo 4

Substituindo a aproximação do numerador no limite, temos:
Podemos simplificar dividindo por . Vamos considerar que é sempre positivo, exceto no ponto .

Passo 5

Para analisar esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde e , e é a distância até a origem ( ). Substituindo na expressão:
Então, o limite fica:

Passo 6

Como é limitado entre 0 e 1 para qualquer , temos:
E sabemos que . Pelo Teorema do Sanduíche, o limite de também é 0.

Passo 7

Portanto, o limite original é:

Resposta

O limite é igual a .

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