Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
f(x, y)=llx^2-x yx^2-y^2, & se y neq pm x x+y4, & se y= pm x no ponto (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente dependendo se é igual a ou , ou não. O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Então, vamos verificar essas três condições para o ponto .

Passo 3

Primeiro, vamos ver se f(x, y) = x^2 - x yx^2 - y^2, & se y neq pm x x + y4, & se y = pm x está definida. Olhando a definição da função:
f(1,1) = 1 + 14 = 24 = 12
No ponto , temos , então usamos a segunda parte da definição:
Então, está definida e vale .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x, y) = x^2 - x yx^2 - y^2 quando x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) se aproxima de f(x, y) = x^2 - x y(x - y)(x + y) . Para isso, vamos analisar duas situações: quando x^2 - x y = x(x - y) e quando f(x, y) = x(x - y)(x - y)(x + y) .
Primeiro, para f(x, y) = xx + y :
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar o denominador:
Então,
Podemos fatorar o numerador:
Então,
Aqui, podemos cancelar do numerador e denominador (desde que ):

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando lim(x, y) to (1,1) xx + y = 11 + 1 = 12 se aproxima de :
Então, o limite de quando se aproxima de é .

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se o limite é igual ao valor da função no ponto:
lim(x, y) to (1,1) f(x, y) = 12
f(1,1) = 12
Como os dois são iguais, todas as condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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