Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente dependendo se
é igual a
ou
, ou não. O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Então, vamos verificar essas três condições para o ponto
.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se
está definida. Olhando a definição da função:
No ponto
, temos
, então usamos a segunda parte da definição:
Então,
está definida e vale
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar duas situações: quando
e quando
.
Primeiro, para
:
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar o denominador:
Então,
Podemos fatorar o numerador:
Então,
Aqui, podemos cancelar
do numerador e denominador (desde que
):
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando
se aproxima de
:
Então, o limite de
quando
se aproxima de
é
.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se o limite é igual ao valor da função no ponto:
Como os dois são iguais, todas as condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.
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, onde
.