Calcule a derivada usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da equação . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras como a regra da potência, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos um termo que contenha , teremos que usar a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o primeiro termo em relação a :
Aqui usamos a Regra da Potência, que diz que .

Passo 4

Derivando o segundo termo em relação a :
Aqui usamos a Regra do Produto para derivar e a Regra da Cadeia para derivar .

Passo 5

Derivando o terceiro termo em relação a :
Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia porque é uma função de .

Passo 6

Derivando o lado direito da equação, que é uma constante :

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas:

Passo 8

Vamos isolar . Primeiro, agrupamos os termos que contêm :

Passo 9

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão :

Resposta

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Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: