Calcule a integral de linha , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha do tipo , onde a curva é dada por:
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de caminhos no espaço. Vamos precisar encontrar a expressão de e substituir as funções e em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . Em integração de linha, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para calcular , usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Percebe que é um quadrado perfeito:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos , e em termos de na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.
Calcule , onde .