Calcule a integral de linha integralC x z d s, onde C: x=6 t, y=3 raiz2 t^2, z=2 t^3, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha do tipo x = 6t, y = 3raiz2, t^2, z = 2t^3, para 0 <= t <= 1 , onde a curva é dada por:
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de caminhos no espaço. Vamos precisar encontrar a expressão de e substituir as funções e em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . Em integração de linha, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para calcular , usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(6t) = 6,
dydt = ddt(3raiz2, t^2) = 6raiz2, t,
dzdt = ddt(2t^3) = 6t^2
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula de ds = raiz6^2 + (6raiz2, t)^2 + (6t^2)^2 , dt = raiz36 + 72t^2 + 36t^4 , dt :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
36 + 72t^2 + 36t^4 = 36(1 + 2t^2 + t^4)
Percebe que 1 + 2t^2 + t^4 = (1 + t^2)^2 é um quadrado perfeito:
ds = raiz36(1 + t^2)^2 , dt = 6(1 + t^2) , dt
Então,

Passo 5

Agora, substituímos integralC x z , ds = integral0^1 (6t)(2t^3) cdot 6(1 + t^2) , dt , = integral0^1 6t cdot 2t^3 cdot 6(1 + t^2) , dt = integral0^1 72t^4(1 + t^2) , dt e em termos de na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
72t^4(1 + t^2) = 72t^4 + 72t^6
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 72t^4 , dt + integral0^1 72t^6 , dt
Calculando cada integral:
72 cdot [t^55]0^1 + 72 cdot [t^77]0^1 = 72(15 - 0) + 72(17 - 0)
Simplificando:
= 725 + 727 = 504 + 36035 = 86435

Resposta

A integral de linha vale .

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