Calcule a integral de linha
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha do tipo
, onde a curva
é dada por:
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de caminhos no espaço. Vamos precisar encontrar a expressão de
e substituir as funções
e
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. Em integração de linha,
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva
. Para calcular
, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula de
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Percebe que
é um quadrado perfeito:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
em termos de
na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Calcule
, onde
.