Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente das derivadas parciais, que ajudam a entender como uma função muda quando a gente varia uma das suas variáveis mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
Temos:
Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então,
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Novamente, temos:
A derivada de com respeito a é . Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Calcule a derivada usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma
Calcule a integral de linha , onde .
Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.