Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente das derivadas parciais, que ajudam a entender como uma função muda quando a gente varia uma das suas variáveis mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
Temos:
Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então,
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Novamente, temos:
A derivada de
com respeito a
é
. Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Assumindo que os limites das funções abaixo no ponto dado existe, verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados::
no ponto (1,1)
Calcule a derivada
usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma
Calcule a integral de linha
, onde
.
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.