Assumindo que
e
, considere a equação
. As raízes podem ser calculadas com o auxílio das fórmulas
Mostre que essas raízes podem ser equivalentemente calculadas usando as fórmulas
Dica: racionalize os numeradores em (1). Nos casos em que
, deve-se tomar cuidado para evitar cancelamento catastrófico. Se
, então
deve ser calculado pela fórmula (2) e
pela fórmula (1). Se
, então
deve ser calculado por (1) e
por (2).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação do segundo grau na forma
, onde
e o discriminante
. Queremos mostrar que as raízes dessa equação podem ser calculadas de duas maneiras diferentes usando fórmulas alternativas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes de uma equação quadrática são encontradas e como podemos manipular essas fórmulas para chegar às versões alternativas apresentadas na questão. Vamos precisar usar a técnica de racionalização dos numeradores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontramos as raízes de uma equação quadrática. A fórmula geral para as raízes
e
é:
Essas fórmulas nos dão as soluções para
que satisfazem a equação quadrática.
Passo 3
Agora, vamos focar em transformar essas fórmulas para obter as versões alternativas apresentadas na questão. A dica sugere que racionalizemos os numeradores. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador, mas aqui podemos interpretar isso como manipular a expressão para uma forma equivalente.
Vamos trabalhar com
primeiro. A expressão original é:
Para transformar isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Então, temos:
Isso nos dá a primeira fórmula alternativa para
:
Passo 5
Agora, vamos fazer algo semelhante para
:
Multiplicando o numerador e o denominador por
:
Simplificando o numerador:
Então:
Isso nos dá a segunda fórmula alternativa para
:
Resposta
Mostramos que as raízes da equação quadrática
podem ser calculadas pelas fórmulas alternativas: