Assumindo que a neq 0 e b^2-4 a c>0, considere a equação a x^2+b x+c=0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio das fórmulas
x1=-b+raizb^2-4 a c2 a, x2=-b-raizb^2-4 a c2 a
Mostre que essas raízes podem ser equivalentemente calculadas usando as fórmulas
x1=-2 cb+raizb^2-4 a c, x2=-2 cb-raizb^2-4 a c
Dica: racionalize os numeradores em (1). Nos casos em que |b| approx raizb^2-4 a c, deve-se tomar cuidado para evitar cancelamento catastrófico. Se b>0, então x1 deve ser calculado pela fórmula (2) e x2 pela fórmula (1). Se b<0, então x1 deve ser calculado por (1) e x2 por (2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação do segundo grau na forma , onde e o discriminante . Queremos mostrar que as raízes dessa equação podem ser calculadas de duas maneiras diferentes usando fórmulas alternativas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes de uma equação quadrática são encontradas e como podemos manipular essas fórmulas para chegar às versões alternativas apresentadas na questão. Vamos precisar usar a técnica de racionalização dos numeradores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontramos as raízes de uma equação quadrática. A fórmula geral para as raízes x1 = -b + raizb^2 - 4ac 2a , x2 = -b - raizb^2 - 4ac 2a e é:
Essas fórmulas nos dão as soluções para que satisfazem a equação quadrática.

Passo 3

Agora, vamos focar em transformar essas fórmulas para obter as versões alternativas apresentadas na questão. A dica sugere que racionalizemos os numeradores. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador, mas aqui podemos interpretar isso como manipular a expressão para uma forma equivalente.
Vamos trabalhar com x1 = -b + raizb^2 - 4ac 2a primeiro. A expressão original é:
x1 = (-b + raizb^2 - 4ac)(-b - raizb^2 - 4ac) 2a (-b - raizb^2 - 4ac)
Para transformar isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por :

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade (-b + raizb^2 - 4ac)(-b - raizb^2 - 4ac) = b^2 - (b^2 - 4ac) = 4ac :
x1 = 4ac2a (-b - raizb^2 - 4ac) = 2c-b - raizb^2 - 4ac = -2c b + raizb^2 - 4ac
Então, temos:
x1 = -2c b + raizb^2 - 4ac
Isso nos dá a primeira fórmula alternativa para :

Passo 5

Agora, vamos fazer algo semelhante para x2 = -b - raizb^2 - 4ac 2a :
x2 = (-b - raizb^2 - 4ac)(-b + raizb^2 - 4ac) 2a (-b + raizb^2 - 4ac)
Multiplicando o numerador e o denominador por (-b - raizb^2 - 4ac)(-b + raizb^2 - 4ac) = b^2 - (b^2 - 4ac) = 4ac :
x2 = 4ac2a (-b + raizb^2 - 4ac) = 2c-b + raizb^2 - 4ac = -2c b - raizb^2 - 4ac
Simplificando o numerador:
x2 = -2c b - raizb^2 - 4ac
Então:
Isso nos dá a segunda fórmula alternativa para :

Resposta

Mostramos que as raízes da equação quadrática x1 = -2c b + raizb^2 - 4ac , x2 = -2c b - raizb^2 - 4ac podem ser calculadas pelas fórmulas alternativas:

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