Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
b) W=(x, y) in R^2 mid y=x^2.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar juntos se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se satisfaz três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado em adição de vetores e ser fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 = 0^2 implies 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se y1 + y2 = x1^2 + x2^2 é fechado em adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 e x1^2 + x2^2 neq x1^2 + 2x1x2 + x2^2 a menos que 2x1x2 = 0 em , a soma também deve estar em .
Sabemos que e . Então:
Para que esteja em , precisaríamos que:
Comparando os dois lados:
Isso só acontece se ou , o que não é garantido para todos os vetores em . Portanto, não é fechado em adição.

Passo 4

Mesmo já tendo encontrado que c y = c x^2 não é fechado em adição, vamos verificar a última condição para completação: fechamento em multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer vetor c y = (c x)^2 implies c x^2 = c^2 x^2 em e qualquer escalar , o vetor também deve estar em .
Sabemos que . Então:
Para que esteja em , precisaríamos que:
Isso só acontece se ou , o que não é válido para todos os escalares . Portanto, também não é fechado em multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial.

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