Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar juntos se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se
satisfaz três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado em adição de vetores e ser fechado em multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que
e
. Então:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Comparando os dois lados:
Isso só acontece se
ou
, o que não é garantido para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado em adição.
Passo 4
Mesmo já tendo encontrado que
não é fechado em adição, vamos verificar a última condição para completação: fechamento em multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que
. Então:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Isso só acontece se
ou
, o que não é válido para todos os escalares
. Portanto,
também não é fechado em multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial.