Assuming that u(r, z) = R(r) Z(z), show that R and Z satisfy the equations
r R'' + R' + lambda^2 r R = 0, Z'' - lambda^2 Z = 0
Note: The equation for R is Bessel

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que é escrita como o produto de duas funções: . O objetivo aqui é mostrar que, ao assumir essa forma para , as funções e precisam satisfazer duas equações diferenciais específicas:
Aqui, e representam as derivadas segundas de e em relação às suas respectivas variáveis. Vamos precisar usar o método de separação de variáveis para chegar nessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de com relação a e . Como , temos:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada segunda de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada segunda de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos assumir que satisfaz uma equação diferencial parcial (EDP) específica. Embora o enunciado não tenha fornecido a EDP original, para que a separação de variáveis funcione, geralmente a equação tem a forma:
Essa é uma forma comum da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria axial (independente do ângulo).

Passo 4

Substituindo na EDP, temos:
Vamos calcular a derivada dentro do parêntese:
Então, a equação fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por para separar as variáveis:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, temos:

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação depende apenas de e o lado direito depende apenas de . Para essa igualdade ser verdadeira para todos os valores de e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de . Assim, temos duas equações:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

Assim, mostramos que, ao assumir , as funções e devem satisfazer as seguintes equações diferenciais:
A equação para é conhecida como equação de Bessel, que aparece frequentemente em problemas de simetria cilíndrica.

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u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta_theta = 0
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u_x(0, y) = 0, u_x(a, y) = f(y), 0 < y < b; u_y(x, 0) = 0, u_y(x, b) = 0, 0 < x < a
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u_{xx} + u_{zz} = 0 em R
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where alpha is the slope of the water table.
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