Assuming that
, show that
and
satisfy the equations
Note: The equation for
is Bessel
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
que é escrita como o produto de duas funções:
. O objetivo aqui é mostrar que, ao assumir essa forma para
, as funções
e
precisam satisfazer duas equações diferenciais específicas:
Aqui,
e
representam as derivadas segundas de
e
em relação às suas respectivas variáveis. Vamos precisar usar o método de separação de variáveis para chegar nessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
com relação a
e
. Como
, temos:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada segunda de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : -
Derivada segunda de
em relação a :
Passo 3
Agora, vamos assumir que
satisfaz uma equação diferencial parcial (EDP) específica. Embora o enunciado não tenha fornecido a EDP original, para que a separação de variáveis funcione, geralmente a equação tem a forma:
Essa é uma forma comum da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria axial (independente do ângulo).
Passo 4
Substituindo
na EDP, temos:
Vamos calcular a derivada dentro do parêntese:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a equação por
para separar as variáveis:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, temos:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. Para essa igualdade ser verdadeira para todos os valores de
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de
. Assim, temos duas equações:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Assim, mostramos que, ao assumir
, as funções
e
devem satisfazer as seguintes equações diferenciais:
A equação para
é conhecida como equação de Bessel, que aparece frequentemente em problemas de simetria cilíndrica.
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Show that Laplace
Hint: Use
and
and the chain rule.
Consider the problem of finding a solution
of Laplace
This is an example of a Neumann problem.
Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let
be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head
satisfies Laplace
If water cannot flow through the sides and bottom of
, then the boundary conditions there are
Finally, suppose that the boundary condition at
is
where
is the slope of the water table.
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e