Show that Laplace
u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta_theta = 0
Hint: Use x = r cos(theta) and y = r * sen(θ) and the chain rule.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Queremos mostrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, θ), onde:
Precisaremos aplicar a regra da cadeia para relacionar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas com as derivadas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e y usando a regra da cadeia. Temos:
Agora, vamos encontrar , , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de r e theta:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas e .
Primeiro, derivando em relação a x:
Usando a regra do produto e lembrando que e também dependem de x e y, teremos termos com derivadas de e .
De maneira similar, derivamos em relação a y para obter .

Passo 6

Após calcular e , somamos as duas expressões:
Simplificando os termos e utilizando as rela��ões trigonométricas, chegamos à expressão da equação de Laplace em coordenadas polares:

Resposta

Assim, mostramos que a equação de Laplace em coordenadas polares é:

Exercícios relacionados

Consider the problem of finding a solution u(x, y) of Laplace
u_x(0, y) = 0, u_x(a, y) = f(y), 0 < y < b; u_y(x, 0) = 0, u_y(x, b) = 0, 0 < x < a
This is an example of a Neumann problem.
Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície S , i.e., obtenha
integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(2023 x z,-2023 y z, 25 pi z)
e S é a superfície fechada e com orientação positiva, consistituida da justaposição das três superfícies:
rll z=4-3 raizx^2+y^2 & ( com 1 <= z <= 4) & cone no topo x^2+y^2=1 & ( com 0 <= z <= 1) & cilindro na lateral z=x^2+y^2-1 & ( com -1 <= z <= 0) & paraboloide na base
Assuming that u(r, z) = R(r) Z(z), show that R and Z satisfy the equations
r R'' + R' + lambda^2 r R = 0, Z'' - lambda^2 Z = 0
Note: The equation for R is Bessel
Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let R: 0 < x < a, 0 < z < b be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head u(x, z) satisfies Laplace
u_{xx} + u_{zz} = 0 em R
If water cannot flow through the sides and bottom of R, then the boundary conditions there are
u_x(0, z) = 0, u_x(a, z) = 0, 0 < z < b; u_z(x, 0) = 0, 0 < x < a
Finally, suppose that the boundary condition at z = b is
u(x, b) = b + alfa * x, 0 < x < a
where alpha is the slope of the water table.