Show that Laplace
Hint: Use
and
and the chain rule.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Queremos mostrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas
e polares
, onde:
Precisaremos aplicar a regra da cadeia para relacionar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas com as derivadas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Temos:
Agora, vamos encontrar
,
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
e
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão de
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas
e
.
Primeiro, derivando
em relação a
:
Usando a regra do produto e lembrando que
e
também dependem de
e
, teremos termos com derivadas de
e
.
De maneira similar, derivamos
em relação a
para obter
.
Passo 6
Após calcular
e
, somamos as duas expressões:
Simplificando os termos e utilizando as rela��ões trigonométricas, chegamos à expressão da equação de Laplace em coordenadas polares:
Resposta
Assim, mostramos que a equação de Laplace em coordenadas polares é:
Exercícios relacionados
Consider the problem of finding a solution
of Laplace
This is an example of a Neumann problem.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície S , i.e., obtenha
e S é a superfície fechada e com orientação positiva, consistituida da justaposição das três superfícies:
Assuming that
u(r, z) = R(r) Z(z) , show that
R and
Z satisfy the equations
Note: The equation for
R is Bessel
Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let
R: 0 < x < a, 0 < z < b be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head
u(x, z) satisfies Laplace
If water cannot flow through the sides and bottom of
R , then the boundary conditions there are
Finally, suppose that the boundary condition at
z = b is
where
alpha is the slope of the water table.