Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let
be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head
satisfies Laplace
If water cannot flow through the sides and bottom of
, then the boundary conditions there are
Finally, suppose that the boundary condition at
is
where
is the slope of the water table.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o fluxo de água em um aquífero, que é basicamente a água se movendo através de um meio poroso, como a areia. A equação que descreve esse fluxo é a Equação de Laplace, que envolve derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, a Equação de Laplace que temos é
no domínio
e
. Essa equação descreve a distribuição do potencial hidráulico
no aquífero. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e as condições de contorno dadas.
Passo 3
Vamos usar o método da separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos leva a:
Onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, resolvemos as equações diferenciais resultantes:
Para :
Para
E para
:
A solução geral para
depende do sinal de
. Para evitar soluções exponenciais que não são físicas neste contexto, assumimos
, onde
é um inteiro positivo.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno
e
, obtemos que as soluções para
são:
E as correspondentes para
são:
Como a condição
implica que
, simplificamos para:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição de contorno em
:
Substituindo a série de Fourier:
Para encontrar os coeficientes
, projetamos ambos os lados na base das funções
, usando a ortogonalidade das funções trigonométricas.
Passo 7
Finalmente, a solução geral para a cabeça hidráulica
é:
Resposta
A cabeça hidráulica no aquífero é dada por:
Exercícios relacionados
Assuming that
, show that
and
satisfy the equations
Note: The equation for
is Bessel
Show that Laplace
Hint: Use
and
and the chain rule.
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e