Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let R: 0 < x < a, 0 < z < b be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head u(x, z) satisfies Laplace
u_{xx} + u_{zz} = 0 em R
If water cannot flow through the sides and bottom of R, then the boundary conditions there are
u_x(0, z) = 0, u_x(a, z) = 0, 0 < z < b; u_z(x, 0) = 0, 0 < x < a
Finally, suppose that the boundary condition at z = b is
u(x, b) = b + alfa * x, 0 < x < a
where alpha is the slope of the water table.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o fluxo de água em um aquífero, que é basicamente a água se movendo através de um meio poroso, como a areia. A equação que descreve esse fluxo é a Equação de Laplace, que envolve derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, a Equação de Laplace que temos é no domínio e . Essa equação descreve a distribuição do potencial hidráulico no aquífero. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e as condições de contorno dadas.

Passo 3

Vamos usar o método da separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a:
Onde é uma constante.

Passo 4

Agora, resolvemos as equações diferenciais resultantes:
Para :
E para :
A solução geral para depende do sinal de . Para evitar soluções exponenciais que não são físicas neste contexto, assumimos , onde é um inteiro positivo.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno e , obtemos que as soluções para são:
E as correspondentes para são:
Como a condição implica que , simplificamos para:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição de contorno em :
Substituindo a série de Fourier:
Para encontrar os coeficientes , projetamos ambos os lados na base das funções , usando a ortogonalidade das funções trigonométricas.

Passo 7

Finalmente, a solução geral para a cabeça hidráulica é:

Resposta

A cabeça hidráulica no aquífero é dada por:

Exercícios relacionados

Assuming that u(r, z) = R(r) Z(z), show that R and Z satisfy the equations
r R'' + R' + lambda^2 r R = 0, Z'' - lambda^2 Z = 0
Note: The equation for R is Bessel
Show that Laplace
u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta_theta = 0
Hint: Use x = r cos(theta) and y = r * sen(θ) and the chain rule.
Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = tg(x) e x0 = 0
Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = x^3 + 1/x e x0 = 1