Um asteroide, cuja massa é 2,0 times 10^24 vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre um asteroide que gira em uma órbita circular ao redor do Sol. Vamos usar conceitos de Mecânica Orbital para calcular o período de revolução desse asteroide e comparar a energia cinética dele com a da Terra. Para isso, precisamos entender a Lei de Kepler e a fórmula da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (a) do exercício: calcular o período de revolução do asteroide. Para isso, usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita (T) com a distância média do corpo ao Sol (r). A fórmula é:
T = 2pi raizr^3G(M + m)
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e m é a massa do asteroide. No entanto, geralmente m é muito menor que M, então podemos simplificar para:
T approx 2pi raizr^3G M

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • A distância do asteroide ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol. Sabemos que a distância da Terra ao Sol é aproximadamente 1 Unidade Astronômica (UA).
    Então, r = 2 UA.
  • A constante gravitacional G é aproximadamente 6,674 × 10^{-11} , N·m2/\text{kg}2.
  • A massa do Sol (M) é cerca de 1,989 × 10^{30} , kg.

Passo 4

Precisamos expressar a distância em metros para manter as unidades consistentes. Sabemos que:
1 , UA = 1,496 × 10^11 , m
Portanto,
r = 2 × 1,496 × 10^11 , m = 2,992 × 10^11 , m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da Terceira Lei de Kepler:
T = 2pi raiz(2,992 × 10^11)^36,674 × 10^-11 × 1,989 × 10^30
Vamos calcular o valor dentro da raiz quadrada primeiro:
(2,992 × 10^11)^36,674 × 10^-11 × 1,989 × 10^30 = 2,678 × 10^341,329 × 10^20 = 2,016 × 10^14 , s^2

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
raiz2,016 × 10^14 = 1,419 × 10^7 , s
Multiplicamos por T = 2pi × 1,419 × 10^7 , s ≈ 8,911 × 10^7 , s :
T ≈ 8,911 × 10^73,154 × 10^7 ≈ 2,826 , anos
Para converter para anos, sabemos que 1 ano ≈ 3,154 × 10^{7} s:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra.
A fórmula da energia cinética é:
Ek = 12 m v^2
Vamos calcular e e depois fazer a razão.

Passo 8

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital de cada corpo. A velocidade orbital v = raizG Mr pode ser calculada usando:
va = raiz6,674 × 10^-11 × 1,989 × 10^302,992 × 10^11 ≈ raiz1,327 × 10^202,992 × 10^11 ≈ raiz4,434 × 10^8 ≈ 2,107 × 10^4 , m/s
Para o asteroide:
vT = raiz6,674 × 10^-11 × 1,989 × 10^301,496 × 10^11 ≈ raiz1,327 × 10^201,496 × 10^11 ≈ raiz8,873 × 10^8 ≈ 2,978 × 10^4 , m/s
Para a Terra, com :

Passo 9

Agora, vamos calcular a energia cinética de cada um. Primeiro, a massa:
  • Massa do asteroide: ma = 2,0 × 10^24 × 5,972 × 10^24 = 1,1944 × 10^49 , kg
    Sabemos que a massa da Terra é aproximadamente , então:
  • Massa da Terra:

Passo 10

Calculando as energias cinéticas:
Para o asteroide:
Ek,a = 12 × 1,1944 × 10^49 × (2,107 × 10^4)^2 ≈ 12 × 1,1944 × 10^49 × 4,439 × 10^8 ≈ 2,648 × 10^57 , J
Para a Terra:
Ek,T = 12 × 5,972 × 10^24 × (2,978 × 10^4)^2 ≈ 12 × 5,972 × 10^24 × 8,869 × 10^8 ≈ 2,650 × 10^33 , J

Passo 11

Agora, a razão entre as energias cinéticas é:
Ek,aEk,T = 2,648 × 10^572,650 × 10^33 ≈ 1,000 × 10^24 = 1,0 × 10^24

Resposta

(a) O período de revolução do asteroide é aproximadamente 2,83 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra é 1,0 × 10²⁴.

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