Um asteroide, cuja massa é
vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre um asteroide que gira em uma órbita circular ao redor do Sol. Vamos usar conceitos de Mecânica Orbital para calcular o período de revolução desse asteroide e comparar a energia cinética dele com a da Terra. Para isso, precisamos entender a Lei de Kepler e a fórmula da energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (a) do exercício: calcular o período de revolução do asteroide. Para isso, usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita (T) com a distância média do corpo ao Sol (r). A fórmula é:
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e m é a massa do asteroide. No entanto, geralmente m é muito menor que M, então podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
-
A distância do asteroide ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol. Sabemos que a distância da Terra ao Sol é aproximadamente 1 Unidade Astronômica (UA).Então, r = 2 UA.
-
A constante gravitacional G é aproximadamente 6,674 × 10^{-11} , N·m2/\text{kg}2.
-
A massa do Sol (M) é cerca de 1,989 × 10^{30} , kg.
Passo 4
Precisamos expressar a distância em metros para manter as unidades consistentes. Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da Terceira Lei de Kepler:
Vamos calcular o valor dentro da raiz quadrada primeiro:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Multiplicamos por
:
Para converter para anos, sabemos que 1 ano ≈ 3,154 × 10^{7} s:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra.
A fórmula da energia cinética é:
Vamos calcular
e
e depois fazer a razão.
Passo 8
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital de cada corpo. A velocidade orbital
pode ser calculada usando:
Para o asteroide:
Para a Terra, com
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a energia cinética de cada um. Primeiro, a massa:
-
Massa do asteroide:Sabemos que a massa da Terra é aproximadamente
, então: -
Massa da Terra:
Passo 10
Calculando as energias cinéticas:
Para o asteroide:
Para a Terra:
Passo 11
Agora, a razão entre as energias cinéticas é:
Resposta
(a) O período de revolução do asteroide é aproximadamente 2,83 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra é 1,0 × 10²⁴.
Exercícios relacionados
Na Fig. 13-32, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas
,
e
. Na notação dos vetores unitários, qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa
?
(a) Decaries cocuprimento de ondá, período, amplitude e velocidade de propagaçào da onda;
(b) Ecorma a equagio para a velocidade e para a aceleraçāo transversal;
© Qaes a neltão 5
(b) Ecorma a equagio para a velocidade e para a aceleraçāo transversal;
© Qaes a neltão 5
O comprimento inicial
, a variação de temperatura
e a variação de comprimento
de quatro barras são mostradas na tabela ao lado. Ordene as barras de acordo com os coeficientes de expansão térmica, em ordem decrescente:
Barra |
|
|
|
---|---|---|---|
a | 2 | 10 |
|
|
1 | 20 |
|
c | 2 | 10 |
|
d | 4 | 5 |
|
Em uma escala linear de temperatura
, a água evapora a
e congela a
. Quanto vale a temperatura de
na escala
? (Aproxime o ponto de ebulição da água para
)