Um asteroide, cuja massa é vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre um asteroide que gira em uma órbita circular ao redor do Sol. Vamos usar conceitos de Mecânica Orbital para calcular o período de revolução desse asteroide e comparar a energia cinética dele com a da Terra. Para isso, precisamos entender a Lei de Kepler e a fórmula da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (a) do exercício: calcular o período de revolução do asteroide. Para isso, usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita (T) com a distância média do corpo ao Sol (r). A fórmula é:
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e m é a massa do asteroide. No entanto, geralmente m é muito menor que M, então podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • A distância do asteroide ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol. Sabemos que a distância da Terra ao Sol é aproximadamente 1 Unidade Astronômica (UA).
    Então, r = 2 UA.
  • A constante gravitacional G é aproximadamente 6,674 × 10^{-11} , N·m2/\text{kg}2.
  • A massa do Sol (M) é cerca de 1,989 × 10^{30} , kg.

Passo 4

Precisamos expressar a distância em metros para manter as unidades consistentes. Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da Terceira Lei de Kepler:
Vamos calcular o valor dentro da raiz quadrada primeiro:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Multiplicamos por :
Para converter para anos, sabemos que 1 ano ≈ 3,154 × 10^{7} s:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra.
A fórmula da energia cinética é:
Vamos calcular e e depois fazer a razão.

Passo 8

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital de cada corpo. A velocidade orbital pode ser calculada usando:
Para o asteroide:
Para a Terra, com :

Passo 9

Agora, vamos calcular a energia cinética de cada um. Primeiro, a massa:
  • Massa do asteroide:
    Sabemos que a massa da Terra é aproximadamente , então:
  • Massa da Terra:

Passo 10

Calculando as energias cinéticas:
Para o asteroide:
Para a Terra:

Passo 11

Agora, a razão entre as energias cinéticas é:

Resposta

(a) O período de revolução do asteroide é aproximadamente 2,83 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra é 1,0 × 10²⁴.

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