Na Fig. 13-32, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas , e . Na notação dos vetores unitários, qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre forças gravitacionais entre esferas em um quadrado. A gente precisa usar conceitos de física sobre a Lei da Gravitação Universal de Newton. Para isso, vamos precisar saber as massas das esferas, a distância entre elas e usar vetores para expressar a força na direção correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das esferas. Temos um quadrado com lado de 20,0 cm. As quatro esferas de massas , , e estão nos vértices, e a esfera central tem massa .

Passo 3

Vamos calcular a distância entre a esfera central e cada uma das esferas dos vértices. Num quadrado, a distância do centro a um vértice é dada por:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal para cada par de esferas. A fórmula é:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas das esferas,
  • é a distância entre elas.

Passo 5

Vamos calcular a força gravitacional exercida por cada uma das quatro esferas nos vértices sobre a esfera central :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, precisamos somar essas forças vetorialmente. Considerando a disposição das esferas no quadrado, as forças e estarão em direç��es opostas, assim como e , mas com magnitudes diferentes.
Vamos assumir que:
  • está na direção positiva do eixo ,
  • na direção positiva do eixo ,
  • na direção negativa do eixo ,
  • na direção negativa do eixo .
Então, a soma vetorial será:
Substituindo os valores:

Resposta

A força gravitacional total exercida sobre a esfera central é aproximadamente:

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Barra
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c 2 10
d 4 5