Na Fig. 13-32, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas m1=5,00 g, m2=3,00 g, m3=1,00 g e m4=5,00 g. Na notação dos vetores unitários, qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa m5=2,50 g ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre forças gravitacionais entre esferas em um quadrado. A gente precisa usar conceitos de física sobre a Lei da Gravitação Universal de Newton. Para isso, vamos precisar saber as massas das esferas, a distância entre elas e usar vetores para expressar a força na direção correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das esferas. Temos um quadrado com lado de 20,0 cm. As quatro esferas de massas , , e estão nos vértices, e a esfera central tem massa .

Passo 3

Vamos calcular a distância entre a esfera central e cada uma das esferas dos vértices. Num quadrado, a distância do centro a um vértice é dada por:
r = ladoraiz2 = 20,0,cmraiz2 approx 14,14,cm = 0,1414,m

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal para cada par de esferas. A fórmula é:
F = G m1 m2r^2
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas das esferas,
  • é a distância entre elas.

Passo 5

Vamos calcular a força gravitacional exercida por cada uma das quatro esferas nos vértices sobre a esfera central F1 = G m1 m5r^2 = 6,674 times 10^-11 0,005 times 0,00250,1414^2 approx 1,667 times 10^-12, N :
Para F2 = G m2 m5r^2 = 6,674 times 10^-11 0,003 times 0,00250,1414^2 approx 1,000 times 10^-12, N :
F3 = G m3 m5r^2 = 6,674 times 10^-11 0,001 times 0,00250,1414^2 approx 0,333 times 10^-12, N
Para F4 = G m4 m5r^2 = 6,674 times 10^-11 0,005 times 0,00250,1414^2 approx 1,667 times 10^-12, N :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, precisamos somar essas forças vetorialmente. Considerando a disposição das esferas no quadrado, as forças Ftotal = (F2 - F4) i + (F1 - F3) j e Ftotal = (1,000 times 10^-12 - 1,667 times 10^-12), i + (1,667 times 10^-12 - 0,333 times 10^-12), j approx (-0,667 times 10^-12), i + (1,333 times 10^-12), j , N estarão em direç��es opostas, assim como e , mas com magnitudes diferentes.
Vamos assumir que:
  • está na direção positiva do eixo ,
  • na direção positiva do eixo ,
  • na direção negativa do eixo ,
  • na direção negativa do eixo .
Então, a soma vetorial será:
Substituindo os valores:

Resposta

A força gravitacional total exercida sobre a esfera central é aproximadamente:
Ftotal = -0,667 times 10^-12, i + 1,333 times 10^-12, j, N

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