Na Fig. 13-32, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas
,
e
. Na notação dos vetores unitários, qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre forças gravitacionais entre esferas em um quadrado. A gente precisa usar conceitos de física sobre a Lei da Gravitação Universal de Newton. Para isso, vamos precisar saber as massas das esferas, a distância entre elas e usar vetores para expressar a força na direção correta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as posições das esferas. Temos um quadrado com lado de 20,0 cm. As quatro esferas de massas
,
,
e
estão nos vértices, e a esfera central tem massa
.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre a esfera central e cada uma das esferas dos vértices. Num quadrado, a distância do centro a um vértice é dada por:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal para cada par de esferas. A fórmula é:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
e são as massas das esferas, -
é a distância entre elas.
Passo 5
Vamos calcular a força gravitacional exercida por cada uma das quatro esferas nos vértices sobre a esfera central
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, precisamos somar essas forças vetorialmente. Considerando a disposição das esferas no quadrado, as forças
e
estarão em direç��es opostas, assim como
e
, mas com magnitudes diferentes.
Vamos assumir que:
-
está na direção positiva do eixo , -
na direção positiva do eixo , -
na direção negativa do eixo , -
na direção negativa do eixo .
Então, a soma vetorial será:
Substituindo os valores:
Resposta
A força gravitacional total exercida sobre a esfera central é aproximadamente: