Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto O da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por (x, y, z)=(2,3,0)-(1,1,2) t, t in(-infty, 0].
(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção v=(7 / 2,4,5) intersecta a trajetória do asteroide.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um asteroide que está entrando na atmosfera da Terra e sua trajetória está descrita por uma equação vetorial: (x, y, z) = (2, 3, 0) - (1, 1, 2)t, onde t varia de -infty até 0. Além disso, temos um armamento na origem O que dispara um míssil com direção dada pelo vetor v = (72, 4, 5). O que precisamos provar é que esse míssil vai interceptar a trajetória do asteroide. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias tanto do asteroide quanto do míssil. A trajetória do asteroide é uma linha reta no espaço, descrita pela equação vetorial:
ra(t) = 2 3 0 - t 1 1 2
Aqui, (2, 3, 0) é um ponto inicial na trajetória do asteroide, e (-1, -1, -2) é o vetor de direção.
Já a trajetória do míssil, partindo da origem O(0, 0, 0), é dada por:
rm(t) = t 72 4 5
Onde v = (72, 4, 5) é o vetor de direção do míssil e t >= 0 (já que o míssil é lançado a partir do tempo zero para frente).

Passo 3

Para provar que o míssil intercepta o asteroide, precisamos encontrar um ponto no espaço onde as duas trajetórias se cruzam. Ou seja, precisamos encontrar valores de ta e tm tais que:
ra(ta) = rm(tm)
Isso significa que as coordenadas (x, y, z) do asteroide e do míssil devem ser iguais no mesmo instante.

Passo 4

Vamos igualar as componentes das duas equações vetoriais:
Para a coordenada x:
2 - ta = 72 tm
Para a coordenada y:
3 - ta = 4 tm
Para a coordenada z:
0 - 2 ta = 5 tm
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( ta e tm).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos da equação do y:
3 - ta = 4 tm Rightarrow ta = 3 - 4 tm (1)
Agora, substituímos ta na equação do z:
-2 ta = 5 tm Rightarrow -2(3 - 4 tm) = 5 tm
Expandindo:
-6 + 8 tm = 5 tm
Subtraindo 5 tm de ambos os lados:
-6 + 3 tm = 0 Rightarrow 3 tm = 6 Rightarrow tm = 2
Agora, usando tm = 2 na equação (1):
ta = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação do x:
2 - ta = 72 tm
Substituindo ta = -5 e tm = 2:
2 - (-5) = 72 times 2 Rightarrow 7 = 7
A igualdade confirma que nossos valores estão corretos.

Passo 7

Agora, precisamos verificar se os parâmetros estão dentro dos intervalos permitidos. Para o asteroide, temos ta in (-infty, 0], e encontramos ta = -5, que está dentro desse intervalo. Para o míssil, tm = 2 >= 0, o que também está correto.

Resposta

Sim, o míssil intercepta a trajetória do asteroide no ponto (7, 8, 10) após 2 unidades de tempo.

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