Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por .
(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção intersecta a trajetória do asteroide.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um asteroide que está entrando na atmosfera da Terra e sua trajetória está descrita por uma equação vetorial: , onde varia de até . Além disso, temos um armamento na origem que dispara um míssil com direção dada pelo vetor . O que precisamos provar é que esse míssil vai interceptar a trajetória do asteroide. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as trajetórias tanto do asteroide quanto do míssil. A trajetória do asteroide é uma linha reta no espaço, descrita pela equação vetorial:
Aqui, (2, 3, 0) é um ponto inicial na trajetória do asteroide, e (-1, -1, -2) é o vetor de direção.
Já a trajetória do míssil, partindo da origem O(0, 0, 0), é dada por:
rm(t) = t 72 4 5
Onde v = (72, 4, 5) é o vetor de direção do míssil e t >= 0 (já que o míssil é lançado a partir do tempo zero para frente).
Passo 3
Para provar que o míssil intercepta o asteroide, precisamos encontrar um ponto no espaço onde as duas trajetórias se cruzam. Ou seja, precisamos encontrar valores de ta e tm tais que:
ra(ta) = rm(tm)
Isso significa que as coordenadas (x, y, z) do asteroide e do míssil devem ser iguais no mesmo instante.
Passo 4
Vamos igualar as componentes das duas equações vetoriais:
Para a coordenada x:
2 - ta = 72 tm
Para a coordenada y:
3 - ta = 4 tm
Para a coordenada z:
0 - 2 ta = 5 tm
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (ta e tm).
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos da equação do y:
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação do x:
2 - ta = 72 tm
Substituindo ta = -5 e tm = 2:
2 - (-5) = 72 times 2 Rightarrow 7 = 7
A igualdade confirma que nossos valores estão corretos.
Passo 7
Agora, precisamos verificar se os parâmetros estão dentro dos intervalos permitidos. Para o asteroide, temos ta in (-infty, 0], e encontramos ta = -5, que está dentro desse intervalo. Para o míssil, tm = 2 >= 0, o que também está correto.
Resposta
Sim, o míssil intercepta a trajetória do asteroide no ponto (7, 8, 10) após 2 unidades de tempo.