Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto O da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por (x, y, z)=(2,3,0)-(1,1,2) t, t in(-infty, 0].
(b) Encontre o valor de a in R, se existir, para o qual o míssil, com trajetória dada abaixo, acerte o asteroide.
(x, y, z)=(a t+8) v, t in(-10, infty)

Passo 1

Então, temos um asteroide entrando na atmosfera terrestre com uma trajetória definida pela equação (x, y, z) = (2,3,0) - (1,1,2) t, onde t varia de -infty a 0. Queremos encontrar o valor de a que faz com que um míssil, cuja trajetória é dada por (x, y, z) = (a t + 8) v para t in (-10, infty), consiga atingir o asteroide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e sistemas de equações lineares para encontrar o ponto de interseção das trajetórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias das duas partículas. A trajetória do asteroide é dada por:
(xa, ya, za) = (2, 3, 0) - (1, 1, 2) t
Isso significa que, para cada valor de t, o asteroide está em um ponto específico no espaço.
A trajetória do míssil é:
(xm, ym, zm) = (a t + 8) v
Aqui, v é um vetor de direção. Para simplificar, vamos assumir que v = (vx, vy, vz). Assim, podemos reescrever a trajetória do míssil como:
xm = (a t + 8) vx ym = (a t + 8) vy zm = (a t + 8) vz

Passo 3

Para que o míssil acerte o asteroide, as coordenadas (xa, ya, za) e (xm, ym, zm) devem ser iguais para algum valor de t. Portanto, temos o sistema de equações:
2 - t = (a t + 8) vx 3 - t = (a t + 8) vy 0 - 2 t = (a t + 8) vz
Nosso objetivo é encontrar o valor de a que satisfaz essas equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, vamos expressar t em termos de a e v nas duas primeiras equações:
t = 2 - (a t + 8) vx t = 3 - (a t + 8) vy
Igualando as duas expressões para t, temos:
2 - (a t + 8) vx = 3 - (a t + 8) vy (a t + 8)(vy - vx) = 1 a t (vy - vx) + 8(vy - vx) = 1
Isso nos dá uma relação entre a, t e as componentes de v.

Passo 5

Agora, vamos usar a terceira equação do sistema:
-2 t = (a t + 8) vz
Podemos rearranjar para:
-2 t = a t vz + 8 vz -2 t - a t vz = 8 vz t(-2 - a vz) = 8 vz t = 8 vz-2 - a vz
Isso nos dá uma expressão para t em termos de a e vz.

Passo 6

Substituindo a expressão de t obtida na Passo 5 na relação encontrada no Passo 4:
a (8 vz-2 - a vz) (vy - vx) + 8(vy - vx) = 1 8 a vz (vy - vx)-2 - a vz + 8(vy - vx) = 1
Multiplicando ambos os lados por -2 - a vz para eliminar o denominador:
8 a vz (vy - vx) + 8(vy - vx)(-2 - a vz) = (-2 - a vz) 8 a vz (vy - vx) - 16(vy - vx) - 8 a vz (vy - vx) = -2 - a vz -16(vy - vx) = -2 - a vz 16(vy - vx) = 2 + a vz a vz = 16(vy - vx) - 2 a = 16(vy - vx) - 2vz

Resposta

O valor de a que permite que o míssil acerte o asteroide é dado por:
a = 16(vy - vx) - 2vz

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