Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto
da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por
.
(b) Encontre o valor de
, se existir, para o qual o míssil, com trajetória dada abaixo, acerte o asteroide.
(b) Encontre o valor de
Passo 1
Então, temos um asteroide entrando na atmosfera terrestre com uma trajetória definida pela equação
, onde
varia de
a
. Queremos encontrar o valor de
que faz com que um míssil, cuja trajetória é dada por
para
, consiga atingir o asteroide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e sistemas de equações lineares para encontrar o ponto de interseção das trajetórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as trajetórias das duas partículas. A trajetória do asteroide é dada por:
Isso significa que, para cada valor de
, o asteroide está em um ponto específico no espaço.
A trajetória do míssil é:
Aqui,
é um vetor de direção. Para simplificar, vamos assumir que
. Assim, podemos reescrever a trajetória do míssil como:
Passo 3
Para que o míssil acerte o asteroide, as coordenadas
e
devem ser iguais para algum valor de
. Portanto, temos o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essas equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
nas duas primeiras equações:
Igualando as duas expressões para
, temos:
Isso nos dá uma relação entre
,
e as componentes de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação do sistema:
Podemos rearranjar para:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
e
.
Passo 6
Substituindo a expressão de
obtida na Passo 5 na relação encontrada no Passo 4:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Resposta
O valor de
que permite que o míssil acerte o asteroide é dado por: