Mostre que
é um imaginário puro se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos! A gente precisa mostrar que um número complexo
é imaginário puro se e somente se o seu conjugado
for igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e conjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número imaginário puro. Um número complexo é imaginário puro quando sua parte real é zero, ou seja,
. Então,
fica só com a parte imaginária:
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o conjugado de um número complexo. O conjugado de
é
. É basicamente trocar o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Vamos conferir a condição
. Substituindo, temos:
Vamos igualar as partes reais e imaginárias.
Passo 5
Comparando as partes reais:
Isso só é verdadeiro se
.
Passo 6
Comparando as partes imaginárias:
Essa igualdade é verdadeira para qualquer valor de
.
Resposta
Portanto,
é um imaginário puro se e somente se
, ou seja, quando
.