Mostre que z=x+i y é um imaginário puro se e somente se barz= -z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos! A gente precisa mostrar que um número complexo é imaginário puro se e somente se o seu conjugado for igual a . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número imaginário puro. Um número complexo é imaginário puro quando sua parte real é zero, ou seja, . Então, fica só com a parte imaginária: .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o conjugado de um número complexo. O conjugado de é . É basicamente trocar o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Vamos conferir a condição x - i y = -(x + i y) = -x - i y . Substituindo, temos:
Vamos igualar as partes reais e imaginárias.

Passo 5

Comparando as partes reais:
x = -x
Isso só é verdadeiro se .

Passo 6

Comparando as partes imaginárias:
- y = - y
Essa igualdade é verdadeira para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, é um imaginário puro se e somente se , ou seja, quando .

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