Seja
. Se A for antissimétrica, encontre o valor de x .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz
e pede para encontrar o valor de
que faz com que
seja antissimétrica. Antissimétricas são matrizes especiais onde a transposta é igual ao negativo da matriz original. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é matriz antissimétrica e como comparar os elementos da matriz e sua transposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz
é antissimétrica se, ao transpor a matriz (ou seja, trocar linhas por colunas), ela se torna igual ao negativo da matriz original. Matematicamente, isso é expresso como:
Além disso, isso implica que todos os elementos na diagonal principal da matriz devem ser zero, porque cada elemento na diagonal é igual ao seu próprio negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à matriz dada:
Primeiro, vamos verificar a condição da diagonal principal. O elemento
deve ser igual a zero para a matriz ser antissimétrica:
Isso já é um problema, pois
nunca será igual a
.
Passo 4
Mesmo que a condição acima já não seja satisfeita, vamos verificar as outras condições para reforçar a conclusão. A transposta de
é:
Para que
seja antissimétrica, devemos ter:
Isso nos dá as seguintes equações:
-
— já impossível. -
— que resolveria para , mas como a primeira condição já é impossível, isso não muda a conclusão.
Resposta
Não existe nenhum valor de
que faça a matriz
ser antissimétrica.