Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos provar que o vetor u é o vetor nulo, representado por
, se e somente se seus componentes são todos zero, ou seja, u = (0, 0, 0). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial.
Passo 2
Quando temos uma afirmação “se e somente se” (↔️), precisamos provar duas partes:
- Se u =
, então u = (0, 0, 0). - Se u = (0, 0, 0), então u =
.
Passo 3
Primeira parte: Suponha que u =
. Por definição, o vetor nulo
é o vetor onde todas as suas componentes são zero. Então, se u é o vetor nulo, automaticamente temos que u = (0, 0, 0).
Passo 4
Segunda parte: Agora, suponha que u = (0, 0, 0). Um vetor cujas componentes são todas zero é, por definição, o vetor nulo. Portanto, se u = (0, 0, 0), então u deve ser igual a
.
Resposta
Dessa forma, comprovamos que u =
se, e somente se, u = (0, 0, 0).