Prove que u=0 se, e somente se, u=(0,0,0).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos provar que o vetor u é o vetor nulo, representado por 0, se e somente se seus componentes são todos zero, ou seja, u = (0, 0, 0). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial.

Passo 2

Quando temos uma afirmação “se e somente se” (↔️), precisamos provar duas partes:
  1. Se u = 0, então u = (0, 0, 0).
  2. Se u = (0, 0, 0), então u = 0.

Passo 3

Primeira parte: Suponha que u = 0. Por definição, o vetor nulo 0 é o vetor onde todas as suas componentes são zero. Então, se u é o vetor nulo, automaticamente temos que u = (0, 0, 0).

Passo 4

Segunda parte: Agora, suponha que u = (0, 0, 0). Um vetor cujas componentes são todas zero é, por definição, o vetor nulo. Portanto, se u = (0, 0, 0), então u deve ser igual a 0.

Resposta

Dessa forma, comprovamos que u = 0 se, e somente se, u = (0, 0, 0).

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