Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na equação que a gente tem:
O objetivo aqui é simplificar essa equação através de uma rotação e, se precisar, uma translação. Para isso, vamos precisar entender como eliminar o termo
usando uma rotação do sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no termo
. Quando a gente tem um termo misto
em uma equação quadrática, isso geralmente indica que o gráfico da equação está rotacionado em relação aos eixos. Para simplificar, queremos eliminar esse termo.
A fórmula para encontrar o ângulo de rotação
que elimina o termo
é:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Vamos calcular
:
Mas aqui temos um problema: a divisão por zero é indefinida. Isso significa que
, então:
Portanto, o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo
é
.
Passo 4
Com o ângulo de rotação
, vamos fazer a mudança de coordenadas:
Como
, substituímos na equação:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original:
Isso parece complicado, mas ao simplificar, vamos eliminar o termo
.
Passo 6
Após simplificar toda a expressão acima, a equação ficará na forma:
Passo 7
Agora, podemos simplificar ainda mais completando o quadrado para a translação. Vamos reorganizar os termos:
Dividindo tudo por 4:
Completando o quadrado para
:
Passo 8
Finalmente, a equação está na forma mais simples:
Resposta
A equação reduzida na forma mais simples é:
E o ângulo de rotação utilizado foi
.