Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. 3 x^2-2 x y+3 y^2+2 raiz2 x-6 raiz2 y+2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que a gente tem:
3x^2 - 2xy + 3y^2 + 2 raiz2x -6 raiz2 y + 2 = 0
O objetivo aqui é simplificar essa equação através de uma rotação e, se precisar, uma translação. Para isso, vamos precisar entender como eliminar o termo usando uma rotação do sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no termo tan(2theta) = BA - C . Quando a gente tem um termo misto em uma equação quadrática, isso geralmente indica que o gráfico da equação está rotacionado em relação aos eixos. Para simplificar, queremos eliminar esse termo.
A fórmula para encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo é:
Onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Vamos calcular tan(2theta) = -23 - 3 = -20 :
theta = pi4
Mas aqui temos um problema: a divisão por zero é indefinida. Isso significa que , então:
Portanto, o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo é .

Passo 4

Com o ângulo de rotação x = x' costheta - y' sintheta , vamos fazer a mudança de coordenadas:
y = x' sintheta + y' costheta
x = raiz22x' - raiz22y'
Como y = raiz22x' + raiz22y' , substituímos na equação:

Passo 5

Agora, substituímos 3(raiz22x' - raiz22y')^2 - 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 3(raiz22x' + raiz22y')^2 + 2raiz2(raiz22x' - raiz22y') -6raiz2(raiz22x' + raiz22y') + 2 = 0 e na equação original:
Isso parece complicado, mas ao simplificar, vamos eliminar o termo .

Passo 6

Após simplificar toda a expressão acima, a equação ficará na forma:
4x'^2 + 4y'^2 - 4raiz2y' + 2 = 0

Passo 7

Agora, podemos simplificar ainda mais completando o quadrado para a translação. Vamos reorganizar os termos:
4x'^2 + 4y'^2 - 4raiz2y' = -2
Dividindo tudo por 4:
x'^2 + y'^2 - raiz2y' = -12
Completando o quadrado para x'^2 + (y' - raiz22)^2 = 12 :

Passo 8

Finalmente, a equação está na forma mais simples:
x'^2 + (y' - raiz22)^2 = 12

Resposta

A equação reduzida na forma mais simples é:
x'^2 + (y' - raiz22)^2 = 12
E o ângulo de rotação utilizado foi .

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