Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 10 km / s em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestres (ver valor acima) do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o asteroide, determine a velocidade do asteroide quando atinge a superficie da Terra.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de física envolvendo gravitação. A situação é a seguinte: um asteroide está se dirigindo para a Terra com uma velocidade de quando está a uma distância de 10 raios da Terra do seu centro. A gente quer descobrir qual será a velocidade desse asteroide quando ele alcançar a superfície da Terra, sem considerar os efeitos da atmosfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia gravitacional e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei da conservação de energia. Ela diz que, se não há forças dissipativas (como atrito), a energia total de um sistema permanece constante. No nosso caso, a energia total do asteroide vai ser a soma da energia cinética (energia de movimento) e da energia potencial gravitacional (energia devido à posição no campo gravitacional da Terra).

Passo 3

A energia cinética ( Ek = 12 m v^2 ) é dada pela fórmula:
Ep = -G M mr
onde é a massa do asteroide e é a velocidade.
A energia potencial gravitacional ( ) é dada por:
onde é a constante gravitacional, é a massa da Terra, e é a distância do centro da Terra até o asteroide.

Passo 4

Vamos calcular a energia total inicial ( Etotal inicial = 12 m vi^2 - G M mri ) quando o asteroide está a 10 raios terrestres:
onde e ( é o raio da Terra).

Passo 5

A energia total final ( Etotal final = 12 m vf^2 - G M mRE ) quando o asteroide atinge a superfície da Terra ( ) será:
onde é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 6

Segundo a conservação de energia:
Etotal inicial = Etotal final
Então:
12 m vi^2 - G M mri = 12 m vf^2 - G M mRE
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12 vi^2 - G Mri = 12 vf^2 - G MRE :

Passo 7

Isolando 12 vf^2 = 12 vi^2 - G Mri + G MRE :
vf^2 = vi^2 - 2 G Mri + 2 G MRE
Multiplicando todos os termos por 2:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • 2 G MRE = 2 times 6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^246.371 times 10^6 approx 2.494 times 10^7 , m^2/s^2
  • 2 G Mri = 2 times 6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^2410 times 6.371 times 10^6 approx 2.494 times 10^6 , m^2/s^2
  • vi = 10 , km/s = 10,000 , m/s
  • vi^2 = (10,000)^2 = 1 times 10^8 , m^2/s^2
Calculando cada termo:
Convertendo para metros por segundo:

Passo 9

Substituindo na equação de vf^2 = 1 times 10^8 - 2.494 times 10^6 + 2.494 times 10^7 :
vf^2 = 1 times 10^8 + 2.2446 times 10^7 = 1.22446 times 10^8 , m^2/s^2

Passo 10

Tirando a raiz quadrada para encontrar vf = raiz1.22446 times 10^8 approx 11,070 , m/s approx 11.07 , km/s :

Resposta

A velocidade do asteroide ao atingir a superfície da Terra é aproximadamente .

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