Entre
e
, o volume
( em centímetros cúbicos) de
de água a uma temperatura
é aproximadamente dado pela fórmula
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma fórmula que relaciona o volume
da água em centímetros cúbicos com a temperatura
em graus Celsius, no intervalo entre
e
. A gente precisa descobrir em qual temperatura a densidade da água é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o volume é mínimo, já que a densidade é inversamente proporcional ao volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade (
) é dada por:
Como a massa é constante (1 kg), para maximizar a densidade, precisamos minimizar o volume
. Então, nosso objetivo é encontrar a temperatura
que faz com que
seja mínima.
Passo 3
Para encontrar o mínimo da função
, vamos calcular a sua derivada em relação à temperatura e encontrar onde essa derivada é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do volume com a temperatura.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para encontrar o ponto onde a derivada é zero:
Vamos rearranjar a equação:
Multiplicando todos os termos por
para facilitar os cálculos:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
- Calculando o discriminante (
):
- Calculando as raízes:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
- Para o sinal positivo:
- Para o sinal negativo:
Passo 6
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções está no intervalo de
a
. A primeira solução,
, está fora do intervalo considerado, então descartamos. A segunda solução,
, está dentro do intervalo.
Além disso, podemos verificar se é realmente um mínimo calculando a segunda derivada ou observando o comportamento da função, mas como estamos buscando dentro do intervalo específico e temos apenas uma solução válida, fica claro que
é a temperatura onde o volume é mínimo e, portanto, a densidade é máxima.
Resposta
A água alcança sua densidade máxima a aproximadamente
.