(4,0) Entre 0^circ C e 30^circ C, o volume V ( em centímetros cúbicos) de 1 kg de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula
V=999,87-0,06426 T+0,0085043 T^2-0,0000679 T^3
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma fórmula que relaciona o volume V da água em centímetros cúbicos com a temperatura T em graus Celsius, no intervalo entre 0^circ C e 30^circ C. A gente precisa descobrir em qual temperatura a densidade da água é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o volume é mínimo, já que a densidade é inversamente proporcional ao volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( rho) é dada por:
rho = massavolume = 1 , kgV
Como a massa é constante (1 kg), para maximizar a densidade, precisamos minimizar o volume V. Então, nosso objetivo é encontrar a temperatura T que faz com que V seja mínima.

Passo 3

Para encontrar o mínimo da função V(T), vamos calcular a sua derivada em relação à temperatura e encontrar onde essa derivada é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do volume com a temperatura.
A função dada é:
V(T) = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043T^2 - 0,0000679T^3
Vamos calcular a derivada de V em relação a T:
V'(T) = dVdT = -0,06426 + 2 times 0,0085043T - 3 times 0,0000679T^2
Simplificando:
V'(T) = -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto onde a derivada é zero:
-0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 = 0
Vamos rearranjar a equação:
-0,0002037T^2 + 0,0170086T - 0,06426 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar os cálculos:
0,0002037T^2 - 0,0170086T + 0,06426 = 0

Passo 5

Essa é uma equação quadrática na forma aT^2 + bT + c = 0, onde:
  • a = 0,0002037
  • b = -0,0170086
  • c = 0,06426
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções:
T = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
T = -(-0,0170086) pm raiz(-0,0170086)^2 - 4 times 0,0002037 times 0,064262 times 0,0002037
Calculando passo a passo:
  1. Calculando o discriminante ( De):
De
De
  1. Calculando as raízes:
T = 0,0170086 pm raiz0,0002369430,0004074
raiz0,000236943 approx 0,015398
Então:
T = 0,0170086 pm 0,0153980,0004074
Isso nos dá duas soluções:
  • Para o sinal positivo:
T = 0,0170086 + 0,0153980,0004074 approx 0,03240660,0004074 approx 79,47^circ C
  • Para o sinal negativo:
T = 0,0170086 - 0,0153980,0004074 approx 0,00161060,0004074 approx 3,95^circ C

Passo 6

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções está no intervalo de 0^circ C a 30^circ C. A primeira solução, 79,47^circ C, está fora do intervalo considerado, então descartamos. A segunda solução, 3,95^circ C, está dentro do intervalo.
Além disso, podemos verificar se é realmente um mínimo calculando a segunda derivada ou observando o comportamento da função, mas como estamos buscando dentro do intervalo específico e temos apenas uma solução válida, fica claro que 3,95^circ C é a temperatura onde o volume é mínimo e, portanto, a densidade é máxima.

Resposta

A água alcança sua densidade máxima a aproximadamente 3,95^circ C.

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