Para atacar posições inimigas, um avião de carga dá um vôo rasante, percorrendo a trajetória determinada pelo gráfico da função
, para
. O avião efetua os seus disparos segundo a direção tangente.
Determine o ponto sobre o gráfico de
em que o disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situado no ponto
.
Determine o ponto sobre o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função
, que representa a trajetória que o avião de carga está seguindo. A gente precisa encontrar o ponto nessa trajetória onde a tangente (a linha que toca a curva apenas nesse ponto) vai passar pelo ponto
, que é o alvo que queremos atingir.
Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e depois resolver um sistema de equações para achar o ponto exato onde essa tangente passa pelo alvo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação da reta tangente no ponto
. A fórmula da reta tangente é:
Onde
é o ponto de tangência. Substituindo nossos valores, temos:
Mas, como
, a equação simplifica para:
Na verdade, precisamos usar uma abordagem diferente. Vamos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde
e
. Então:
Isso novamente não nos leva adiante, então precisamos corrigir a abordagem.
Passo 4
Vamos reconsiderar a equação da reta tangente. A forma correta é:
Aqui,
é o ponto onde a tangente toca a curva, ou seja,
. Substituindo, temos:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto
. Então, substituímos
e
na equação da reta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Como
na função
, descartamos a solução
. Portanto,
.
Passo 9
Agora que temos
, podemos encontrar as coordenadas do ponto de tangência substituindo
na função:
Então, o ponto sobre o gráfico de
onde o disparo deve ser efetuado é
.
Resposta
O disparo deve ser efetuado no ponto
sobre o gráfico de
.
Exercícios relacionados
Determine a reta tangente ao gráfico de
no ponto
em cada um dos casos abaixo:
Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de
. Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após
segundos é
.
Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
não é derivável em