Para atacar posições inimigas, um avião de carga dá um vôo rasante, percorrendo a trajetória determinada pelo gráfico da função , para . O avião efetua os seus disparos segundo a direção tangente.
Determine o ponto sobre o gráfico de em que o disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situado no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função , que representa a trajetória que o avião de carga está seguindo. A gente precisa encontrar o ponto nessa trajetória onde a tangente (a linha que toca a curva apenas nesse ponto) vai passar pelo ponto , que é o alvo que queremos atingir.
Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e depois resolver um sistema de equações para achar o ponto exato onde essa tangente passa pelo alvo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto . A derivada de é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente no ponto . A fórmula da reta tangente é:
Onde é o ponto de tangência. Substituindo nossos valores, temos:
Mas, como , a equação simplifica para:
Na verdade, precisamos usar uma abordagem diferente. Vamos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde e . Então:
Isso novamente não nos leva adiante, então precisamos corrigir a abordagem.

Passo 4

Vamos reconsiderar a equação da reta tangente. A forma correta é:
Aqui, é o ponto onde a tangente toca a curva, ou seja, . Substituindo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto . Então, substituímos e na equação da reta:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Como na função , descartamos a solução . Portanto, .

Passo 9

Agora que temos , podemos encontrar as coordenadas do ponto de tangência substituindo na função:
Então, o ponto sobre o gráfico de onde o disparo deve ser efetuado é .

Resposta

O disparo deve ser efetuado no ponto sobre o gráfico de .

Exercícios relacionados

Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto em cada um dos casos abaixo:
Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de . Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após segundos é .
Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
não é derivável em