não é derivável em

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que diz que uma função não é derivável em . Vamos trabalhar com o conceito de derivada e diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e os critérios que fazem com que ela não seja derivável em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Se a derivada existe nesse ponto, dizemos que a função é derivável ali.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se a derivada existe ali. Ou seja, para ser diferenciável em , a função precisa ser contínua em e a derivada deve existir nesse ponto.

Passo 4

Então, se a função não é derivável em , pode ser por alguns motivos:
  1. Não é contínua em : Se tem um “buraco”, salto ou descontinuidade ali.
  2. A derivada não existe em : Pode ter um canto (cusp) ou uma mudança abrupta de inclinação (como um ângulo agudo na curva).

Passo 5

Sem a função específica, vamos imaginar um exemplo comum: a função valor absoluto não é derivável em porque tem um “canto” ali. De forma similar, se a função dada tem um comportamento que causa uma dessas situações em , ela não será derivável nesse ponto.

Passo 6

Para confirmar que uma função não é derivável em , a gente pode:
  • Verificar a continuidade: Garantir que a função não tem saltos ou quebras em .
  • Analisar a derivada à esquerda e à direita: Se as derivadas laterais não são iguais, a derivada total não existe.

Passo 7

Então, resumindo: se uma função tem um ponto onde a inclinação muda de forma abrupta ou não é contínua, ela não será derivável nesse ponto específico, como em .

Resposta

A função não é derivável em porque provavelmente apresenta uma descontinuidade ou uma mudança abrupta na inclinação, impedindo a existência da derivada nesse ponto.

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