Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto em cada um dos casos abaixo:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, porque vamos precisar da derivada da função para achar o coeficiente angular da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de , que é . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é , que pode ser reescrita como .
Derivando:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma :

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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Calcule onde é igual a:
Para atacar posições inimigas, um avião de carga dá um vôo rasante, percorrendo a trajetória determinada pelo gráfico da função , para . O avião efetua os seus disparos segundo a direção tangente.
Determine o ponto sobre o gráfico de em que o disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situado no ponto .
Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de . Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após segundos é .
Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.