Passo 1

Então, temos a expressão . Vamos trabalhar com cálculo integral para encontrar a integral dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e aplicar técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observando o numerador e o denominador , percebemos que podemos reescrever a fração de uma forma que facilite a integração.
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, vamos separar a fração:

Passo 3

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeiro, a integral de :
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja , então . No entanto, aqui não temos exatamente no numerador, então ajustamos a expressão.
Podemos reescrever como :
Mas isso complica, então vamos tentar outra abordagem usando a derivada da função . Calculando a derivada:

Passo 4

Surpreendentemente, a derivada desta função é exatamente a expressão que queremos integrar! Isso significa que:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é , onde é a constante de integração.

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Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto em cada um dos casos abaixo:
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