Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere
; sen
;
.
Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
Considere
Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão que dispara um projétil com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. Dois artilheiros, Simplício e Salviati, calcularam a trajetória desse projétil usando conceitos diferentes. Simplício usou a ideia de “impetus”, que acreditava que o projétil seguiria em linha reta com velocidade constante até o impulso acabar, enquanto Salviati usou as ideias de Galileu, que envolvem a influência da gravidade no movimento. Ambos concordam no alcance do projétil, mas queremos saber qual a altura máxima que Simplício calculou.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Isso é essencial para entender como o projétil se move.
A componente horizontal (
) é dada por:
E a componente vertical (
) é:
Com
e
:
Passo 3
Segundo Simplício, o projétil se move em linha reta com velocidade constante até que o “impetus” acaba. Isso significa que, durante esse movimento, não há aceleração vertical, ou seja, a componente vertical da velocidade não muda até o impulso acabar.
A duração desse impulso (
) pode ser determinada pelo alcance (
) do projétil. Sabemos que o alcance é dado por:
Como ambos os artilheiros concordam no alcance, podemos resolver para
:
Mas como não temos o valor de
, precisamos de outra abordagem.
Passo 4
Como Simplício acredita que após o impulso o projétil cai verticalmente, a altura máxima atingida será a altura que o projétil alcança no final do impulso.
Durante o movimento com impulso, a altura (
) é dada por:
Como
é o tempo total de voo, que depende do alcance e da velocidade horizontal, mas não temos
, precisamos relacionar isso de outra forma.
Passo 5
Vamos considerar que o projétil atinge a altura máxima quando o impulso acaba. Nesse momento, a componente vertical da velocidade é zero segundo Simplício.
Então, podemos usar a fórmula da cinemática para o movimento vertical:
Onde
é a aceleração devido à gravidade (
).
Resolvendo para :
Resolvendo para
Passo 6
Agora, usando esse tempo para calcular a altura máxima:
Substituindo os valores:
Resposta
A altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício, é aproximadamente
.