Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m / s, fazendo um ângulo de 30^circ com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere raiz 3=1,8; sen 30^circ=0,5; cos 30^circ=0,9.
Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão que dispara um projétil com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. Dois artilheiros, Simplício e Salviati, calcularam a trajetória desse projétil usando conceitos diferentes. Simplício usou a ideia de “impetus”, que acreditava que o projétil seguiria em linha reta com velocidade constante até o impulso acabar, enquanto Salviati usou as ideias de Galileu, que envolvem a influência da gravidade no movimento. Ambos concordam no alcance do projétil, mas queremos saber qual a altura máxima que Simplício calculou.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Isso é essencial para entender como o projétil se move.
A componente horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) é dada por:
v0y = v0 cdot sin(theta)
E a componente vertical ( v0x = 100 cdot 0,9 = 90 , m/s ) é:
v0y = 100 cdot 0,5 = 50 , m/s
Com e :

Passo 3

Segundo Simplício, o projétil se move em linha reta com velocidade constante até que o “impetus” acaba. Isso significa que, durante esse movimento, não há aceleração vertical, ou seja, a componente vertical da velocidade não muda até o impulso acabar.
A duração desse impulso ( R = v0x cdot t ) pode ser determinada pelo alcance ( t = Rv0x ) do projétil. Sabemos que o alcance é dado por:
Como ambos os artilheiros concordam no alcance, podemos resolver para :
Mas como não temos o valor de , precisamos de outra abordagem.

Passo 4

Como Simplício acredita que após o impulso o projétil cai verticalmente, a altura máxima atingida será a altura que o projétil alcança no final do impulso.
Durante o movimento com impulso, a altura ( h = v0y cdot t ) é dada por:
Como é o tempo total de voo, que depende do alcance e da velocidade horizontal, mas não temos , precisamos relacionar isso de outra forma.

Passo 5

Vamos considerar que o projétil atinge a altura máxima quando o impulso acaba. Nesse momento, a componente vertical da velocidade é zero segundo Simplício.
Então, podemos usar a fórmula da cinemática para o movimento vertical:
vy = v0y - g cdot t = 0
Onde t = v0yg = 509,8 approx 5,10 , s é a aceleração devido à gravidade ( ).
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, usando esse tempo para calcular a altura máxima:
h = v0y cdot t - 12 g t^2
Substituindo os valores:
h = 50 cdot 5,10 - 12 cdot 9,8 cdot (5,10)^2
h = 255 - 12 cdot 9,8 cdot 26,01
h = 255 - 127,25 approx 127,75 , m

Resposta

A altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício, é aproximadamente .

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