Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
Considere
; sen
;
.
Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati?
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.
Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
Considere
Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um canhão que dispara um projétil com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória: Simplício usou ideias antigas de Galileu e Salviati usou as ideias modernas. A gente quer descobrir qual foi a altura máxima que o projétil alcançou segundo o método de Salviati. Para isso, vamos usar conceitos de movimento de projétil, que envolvem decomposição de vetores e equações de movimento vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil nas direções horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e o vertical são independentes.
A velocidade inicial
é
e o ângulo
é
.
A componente vertical da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, para encontrar a altura máxima alcançada, precisamos saber até que ponto o projétil sobe antes de começar a descer. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero.
Vamos usar a seguinte equação da cinemática:
Onde:
-
é a velocidade vertical final (0 no ponto mais alto), -
é a velocidade vertical inicial ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura máxima que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Resposta
A altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati, é aproximadamente
.