Uma régua possui comprimento próprio de 1,5 m e se move em uma nave ao longo do próprio eixo com uma velocidade V em relação a um observador. O comprimento da régua medido pelo observador é de 1,0 m. Qual a velocidade da nave?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma régua que, quando está parada na nave, mede 1,5 , m. Quando ela está se movendo com uma velocidade V, um observador externo mede essa régua com apenas 1,0 , m. A gente vai usar o conceito de contração do comprimento da Teoria da Relatividade Especial para descobrir qual é essa velocidade V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da contração do comprimento. Essa fórmula nos diz como o comprimento de um objeto muda quando ele está se movendo em alta velocidade em relação a um observador. A fórmula é:
L = L0 raiz1 - V^2c^2
Onde:
  • L é o comprimento medido pelo observador que vê o objeto se movendo.
  • L0 é o comprimento próprio, ou seja, o comprimento medido no referencial onde o objeto está parado.
  • V é a velocidade do objeto em relação ao observador.
  • c é a velocidade da luz, aproximadamente 3 times 10^8 , m/s.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a velocidade V. Então, vamos rearranjar a fórmula para isolar V. Primeiro, dividimos os dois lados por L0:
LL0 = raiz1 - V^2c^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
(LL0)^2 = 1 - V^2c^2
Em seguida, isolamos o termo com V^2:
V^2c^2 = 1 - (LL0)^2
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por c^2 e tiramos a raiz quadrada para encontrar V:
V = c raiz1 - (LL0)^2

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
  • L = 1,0 , m
  • L0 = 1,5 , m
  • c = 3 times 10^8 , m/s
Substituindo na fórmula:
V = 3 times 10^8 , m/s times raiz1 - (1,01,5)^2

Passo 5

Vamos calcular dentro da raiz:
1,01,5 = 23 approx 0,6667
Elevando ao quadrado:
(23)^2 = 49 approx 0,4444
Subtraindo de 1:
1 - 0,4444 = 0,5556
Tirando a raiz quadrada:
raiz0,5556 approx 0,745
Agora, multiplicando pela velocidade da luz:
V = 3 times 10^8 , m/s times 0,745 approx 2,235 times 10^8 , m/s

Resposta

A velocidade da nave é aproximadamente 2,24 times 10^8 , m/s.

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