Atenção: Todas as vetores devem ser expressos em termos dos vetores unitários
,
e
Um pássaro voa em um plano
com um vetor velocidade dado por
, sendo
e
e
. O sentido positivo do eixo vertical
é de cima para baixo. Em
segundos, o pássaro está na origem. (a) Determine o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo. (b) Qual é a altura do pássaro (coordenada
) quando ele voa sobre
metros pela primeira vez depois de
segundos?
Um pássaro voa em um plano
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pássaro voando no plano XY com uma velocidade que varia com o tempo, dada por:
Onde:
Além disso, sabemos que no tempo
, o pássaro está na origem
. O eixo vertical
está posicionado de cima para baixo.
A questão tem duas partes:
a) Encontrar o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo.
b) Determinar a altura do pássaro quando ele passa pela posição metros pela primeira vez após
.
a) Encontrar o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo.
b) Determinar a altura do pássaro quando ele passa pela posição
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração e derivação, para resolver essas partes.
Passo 2
Parte a: Encontrar o vetor posição
e o vetor aceleração
Primeiro, vamos lembrar que:
- O vetor posição
é obtido integrando o vetor velocidade em relação ao tempo. - O vetor aceleração
é obtido derivando o vetor velocidade em relação ao tempo.
Vamos fazer isso para cada componente
e
.
Passo 3
Encontrando o vetor posição
A velocidade é dada por:
Para encontrar a posição, integramos cada componente da velocidade:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Componente
:
Componente
:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Determinação das constantes de integração
Sabemos que no tempo
, o pássaro está na origem
. Vamos usar essa condição para encontrar
e
.
Para
:
Portanto, as constantes de integração são zero.
Passo 5
Expressando o vetor posição
Substituindo as constantes de integração, temos:
Esta é a expressão do vetor posição em função do tempo.
Passo 6
Encontrando o vetor aceleração
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
Derivando:
Componente
:
Componente
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Passo 7
Substituindo os valores de
,
e
Agora, vamos substituir os valores dados:
Substituindo na expressão de
:
E na expressão de
:
Passo 8
Parte b: Determinar a altura
quando
após
Queremos encontrar o tempo
em que a posição
e, em seguida, calcular a altura
correspondente.
Primeiro, usamos a expressão de
:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 9
Resolvendo
Temos:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(a origem, que já sabemos) -
Estamos interessados no primeiro tempo após
, então
segundos.
Passo 10
Calculando a altura
em
segundos
Usamos a expressão de
:
Substituindo
:
Resposta
(a) O vetor posição do pássaro em função do tempo é:
E o vetor aceleração é:
(b) A altura do pássaro quando ele passa por
metros pela primeira vez após
segundos é de aproximadamente 9,0 metros.