Atenção: Todas as vetores devem ser expressos em termos dos vetores unitários i, j e k
Um pássaro voa em um plano XY com um vetor velocidade dado por v=(alpha-beta t^2) i+gamma t j, sendo alpha=2.4 m / s e beta=1.6 m / s^3 e gamma=4.0 m / s^2. O sentido positivo do eixo vertical Oy é de cima para baixo. Em t=0 segundos, o pássaro está na origem. (a) Determine o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo. (b) Qual é a altura do pássaro (coordenada y) quando ele voa sobre x=0 metros pela primeira vez depois de t=0 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pássaro voando no plano XY com uma velocidade que varia com o tempo, dada por:
v = (alpha - beta t^2) i + gamma t j
Onde:
Além disso, sabemos que no tempo , o pássaro está na origem . O eixo vertical está posicionado de cima para baixo.
A questão tem duas partes:
a) Encontrar o vetor posição e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo.
b) Determinar a altura do pássaro quando ele passa pela posição metros pela primeira vez após .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração e derivação, para resolver essas partes.

Passo 2

Parte a: Encontrar o vetor posição e o vetor aceleração
Primeiro, vamos lembrar que:
  • O vetor posição é obtido integrando o vetor velocidade em relação ao tempo.
  • O vetor aceleração é obtido derivando o vetor velocidade em relação ao tempo.
Vamos fazer isso para cada componente e .

Passo 3

Encontrando o vetor posição v(t) = (alpha - beta t^2) i + gamma t j
A velocidade é dada por:
r(t) = integral v(t) , dt = integral (alpha - beta t^2) i , dt + integral gamma t j , dt
Para encontrar a posição, integramos cada componente da velocidade:
integral (alpha - beta t^2) dt = alpha t - beta3 t^3 + Cx
Vamos integrar cada componente separadamente.
Componente integral gamma t , dt = gamma2 t^2 + Cy :
Componente :
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Determinação das constantes de integração
Sabemos que no tempo rx(0) = alpha cdot 0 - beta3 cdot 0^3 + Cx = 0 Rightarrow Cx = 0 , o pássaro está na origem ry(0) = gamma2 cdot 0^2 + Cy = 0 Rightarrow Cy = 0 . Vamos usar essa condição para encontrar e .
Para :
Portanto, as constantes de integração são zero.

Passo 5

Expressando o vetor posição r(t) = (alpha t - beta3 t^3) i + (gamma2 t^2) j
Substituindo as constantes de integração, temos:
Esta é a expressão do vetor posição em função do tempo.

Passo 6

Encontrando o vetor aceleração v(t) = (alpha - beta t^2) i + gamma t j
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
ddt (alpha - beta t^2) = -2 beta t
Derivando:
Componente ddt (gamma t) = gamma :
a(t) = -2 beta t i + gamma j
Componente :
Portanto, o vetor aceleração é:

Passo 7

Substituindo os valores de alpha = 2.4 , m/s, beta = 1.6 , m/s^3, gamma = 4.0 , m/s^2 , r(t) = (2.4 t - 1.63 t^3) i + (4.02 t^2) j = (2.4 t - 0.5333 t^3) i + 2.0 t^2 j e a(t) = -2 times 1.6 t i + 4.0 j = -3.2 t i + 4.0 j
Agora, vamos substituir os valores dados:
Substituindo na expressão de :
E na expressão de :

Passo 8

Parte b: Determinar a altura x(t) = 2.4 t - 0.5333 t^3 = 0 quando após
Queremos encontrar o tempo em que a posição e, em seguida, calcular a altura correspondente.
Primeiro, usamos a expressão de :
Vamos resolver essa equação para .

Passo 9

Resolvendo 2.4 t - 0.5333 t^3 = 0
Temos:
t (2.4 - 0.5333 t^2) = 0
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (a origem, que já sabemos)
Estamos interessados no primeiro tempo após , então segundos.

Passo 10

Calculando a altura y(t) = 2.0 t^2 em y approx 2.0 times (2.121)^2 approx 2.0 times 4.5 = 9.0 , metros segundos
Usamos a expressão de :
Substituindo :

Resposta

(a) O vetor posição do pássaro em função do tempo é:
r(t) = (2.4,t - 0.5333,t^3) i + 2.0,t^2 j
E o vetor aceleração é:
a(t) = -3.2,t i + 4.0,j , m/s^2
(b) A altura do pássaro quando ele passa por metros pela primeira vez após segundos é de aproximadamente 9,0 metros.

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