Considere os vetores a=5 x e b=(raiz3 x-y). Determine o ângulo entre esses dois vetores.
c=5(x-raiz3 y)

Passo 1

Beleza, temos aqui dois vetores: a = 5,x e b = raiz3,x - y. O desafio é descobrir o ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e magnitude dos vetores. Vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e as magnitudes para achar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar de dois vetores a = ax,x + ay,y e b = bx,x + by,y é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by
No nosso caso, a = 5,x + 0,y e b = raiz3,x - 1,y. Então:
a cdot b = (5)(raiz3) + (0)(-1) = 5raiz3

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor v = vx,x + vy,y é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Para a:
|a| = raiz5^2 + 0^2 = raiz25 = 5
Para b:
|b| = raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = raiz4 = 2

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
costheta = a cdot b|a|,|b|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 5raiz35 times 2 = 5raiz310 = raiz32

Passo 5

Para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de raiz32:
theta = arccos(raiz32)
Sabemos que arccos(raiz32) = 30^circ, pois cos(30^circ) = raiz32.

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é de 30 graus.

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