Atenção: Todas as vetores devem ser expressos em termos dos vetores unitários i, j e k
Um objeto de massa m está inicialmente em repouso, em t=0 segundos na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Este objeto é submetido a uma força dada por F=k1 i+k2 t^2 j, onde k1 e k2 são constantes. Determine a velocidade v(t) do objeto em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a velocidade de um objeto em função do tempo, dado que ele está sendo submetido a uma força que varia com o tempo. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica, mais especificamente a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar fazer umas integrações básicas para chegar na velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante aplicada em um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m a
Aqui, F é a força, m é a massa e a é a aceleração do objeto.

Passo 3

A gente quer encontrar a aceleração, então vamos isolar a na equação:
a = Fm
Substituindo a força dada no problema:
a(t) = k1 i + k2 t^2 jm = k1m i + k2m t^2 j

Passo 4

Agora que temos a aceleração, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial v(0) é zero.
Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
v(t) = integral a(t) , dt = integral ( k1m i + k2m t^2 j ) dt

Passo 5

Integrando cada parte:
  • Para a componente i:
integral k1m , dt = k1m t + C1
Como a velocidade inicial é zero, C1 = 0, então:
vx(t) = k1m t
  • Para a componente j:
integral k2m t^2 , dt = k2m cdot t^33 + C2
Novamente, como a velocidade inicial é zero, C2 = 0, então:
vy(t) = k23m t^3

Resposta

Portanto, a velocidade do objeto em função do tempo é:
v(t) = k1m t , i + k23 m t^3 , j

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