Atenção: Todas as vetores devem ser expressos em termos dos vetores unitários
,
e
Um objeto de massa
está inicialmente em repouso, em
segundos na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Este objeto é submetido a uma força dada por
, onde
e
são constantes. Determine a velocidade
do objeto em função do tempo.
Um objeto de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a velocidade de um objeto em função do tempo, dado que ele está sendo submetido a uma força que varia com o tempo. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica, mais especificamente a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar fazer umas integrações básicas para chegar na velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante aplicada em um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui,
é a força,
é a massa e
é a aceleração do objeto.
Passo 3
A gente quer encontrar a aceleração, então vamos isolar
na equação:
Substituindo a força dada no problema:
Passo 4
Agora que temos a aceleração, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial
é zero.
Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
Passo 5
Integrando cada parte:
- Para a componente
:
Como a velocidade inicial é zero,
, então:
- Para a componente
:
Novamente, como a velocidade inicial é zero,
, então:
Resposta
Portanto, a velocidade do objeto em função do tempo é: