Considere os vetores a=3 x e b=2(x+y). Determine o ângulo entre esses dois vetores.
c=5(x+raiz3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos pede para encontrar o ângulo entre dois vetores, a e b. Aqui, estamos lidando com vetores e ângulos entre vetores, então vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude dos vetores para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes dos vetores:
  • a = 3x significa que o vetor a tem uma componente de 3 na direção x e 0 na direção y.
  • b = 2(x + y) significa que o vetor b tem uma componente de 2 na direção x e 2 na direção y.
Então, podemos escrever:
  • a = (3, 0)
  • b = (2, 2)

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que o ângulo theta entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • |a| e |b| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b:
a cdot b = (3)(2) + (0)(2) = 6 + 0 = 6

Passo 5

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores:
|a| = raiz3^2 + 0^2 = raiz9 = 3
|b| = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do produto escalar:
6 = 3 cdot 2raiz2 cdot cos(theta)
6 = 6raiz2 cdot cos(theta)

Passo 7

Agora, isolamos cos(theta):
cos(theta) = 66raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Passo 8

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco-cosseno de raiz22:
theta = cos^-1(raiz22) = 45^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é de 45 graus.

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