Atente para a afirmação se, e somente se, e
Considere a seguinte função
Considerando a afirmação, a função e os conteúdos da aula Limite de Funções e do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, assinale a alternativa correta
A lim x -2^- f(x)=-3
B lim x -2^+ f(x)=4
C lim x 4^- f(x)=16
D lim x 4^+ f(x)=5 circ l lim x 0 f(x)=-1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função definida por partes e precisamos analisar os limites laterais em pontos específicos. O assunto aqui é Limite de Funções, e vamos usar conceitos de análise de limites laterais para determinar qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função f(x) = x - 1 & se x < -2 x^2 + 1 & se -2 <= x < 4 x + 4 & se x >= 4 :
Essa função muda de expressão em e . Precisamos verificar os limites laterais nesses pontos para ver qual alternativa está correta.
Passo 3
Vamos começar com a Alternativa A:
limx to -2^- f(x) = -3
Isso significa que estamos olhando o limite de limx to -2^- (x - 1) = (-2) - 1 = -3 quando se aproxima de pela esquerda (valores menores que ).
Nesse intervalo (), a função é . Vamos calcular o limite:
Portanto, a Alternativa A está correta.
Passo 4
Agora, vamos verificar a Alternativa B:
limx to -2^+ f(x) = 4
Aqui, estamos olhando o limite de limx to -2^+ (x^2 + 1) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 quando se aproxima de pela direita (valores maiores ou iguais a ).
Nesse intervalo (), a função é . Vamos calcular o limite:
Como o resultado é 5 e não 4, a Alternativa B está incorreta.
Passo 5
Vamos para a Alternativa C:
limx to 4^- f(x) = 16
Aqui, analisamos o limite quando limx to 4^- (x^2 + 1) = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 se aproxima de 4 pela esquerda (valores menores que 4).
No intervalo (), a função é . Calculando o limite:
Como obtemos 17 e não 16, a Alternativa C está incorreta.
Passo 6
Por último, vamos verificar a Alternativa D:
limx to 4^+ f(x) = 5
Aqui, olhamos o limite quando limx to 4^+ (x + 4) = 4 + 4 = 8 se aproxima de 4 pela direita (valores maiores ou iguais a 4).
Nesse intervalo (), a função é . Calculando o limite:
Como o resultado é 8 e não 5, a Alternativa D está incorreta.