A técnica de resolução de limites por multiplicação pelo conjugado se baseia no fato que:
  1. (x+a) cdot(x-a)=x^2-a^2
  2. A. BB=A
    Considerando as informações anteriores e os conteúdos da aula Limite de Funções e do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de
    lim x 0 raiz4+x-2x
    A 1
    B 2
    C 3
    D 4
    O E 14

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de uma função quando o se aproxima de 0. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites de funções, e vamos usar uma técnica chamada multiplicação pelo conjugado para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre radicais e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:
limx to 0 raiz4 + x - 2x
Quando tentamos substituir raiz4 + 0 - 20 = 2 - 20 = 00 diretamente, temos:
Esse é um caso de indeterminação, ou seja, não conseguimos calcular o limite dessa forma direta. Precisamos usar outra técnica para resolver.

Passo 3

A técnica que vamos usar é a multiplicação pelo conjugado. Ela é útil quando temos expressões com radicais no numerador ou denominador. O conjugado de raiz4 + x - 2x times raiz4 + x + 2raiz4 + x + 2 é . Vamos multiplicar o numerador e o denominador por esse conjugado para simplificar a expressão.
Então, multiplicamos:

Passo 4

Vamos resolver a multiplicação no numerador usando a identidade (raiz4 + x - 2)(raiz4 + x + 2) = (raiz4 + x)^2 - 2^2 = (4 + x) - 4 = x :
xx (raiz4 + x + 2) = 1raiz4 + x + 2
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite dessa nova expressão quando limx to 0 1raiz4 + x + 2 = 1raiz4 + 0 + 2 = 12 + 2 = 14 se aproxima de 0:

Resposta

A alternativa correta é a E) .

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