Determine os domínio das funções dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função e mostrar que ela é contínua em todo esse domínio. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções, continuidade e entender como cada parte da função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos determinar o domínio de cada parte da função:
  1. Para : A expressão é . Um polinômio como está definido para todos os números reais. Então, para , não tem problema.
  2. Para : A expressão é . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, . Mas como essa parte da função já pede , está tudo certo.

Passo 4

Agora, unindo as duas partes:
  • A primeira parte vale para .
  • A segunda parte vale para .
Juntando esses intervalos, o domínio total da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 5

Vamos verificar a continuidade da função. A função será contínua em todo o seu domínio se:
  1. Cada parte da função for contínua no seu intervalo.
  2. As duas partes se liguem de forma suave no ponto onde mudam, que é .
  • é um polinômio e polinômios são sempre contínuos.
  • é contínua para .
No ponto de mudança, :
  • Limite pela esquerda: .
  • Limite pela direita: .
  • Valor da função em : .
Como os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função, a função é contínua em .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ) e ela é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora. dada por .
Atente para a afirmação
se, e somente se, e
Considere a seguinte função

Considerando a afirmação, a função e os conteúdos da aula Limite de Funções e do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, assinale a alternativa correta
A
B
C
D
Encontre os pontos nos quais é descontínua.
Para quais valores de a função é contínua em ?