Determine os domínio das funções dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função e mostrar que ela é contínua em todo esse domínio. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções, continuidade e entender como cada parte da função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos determinar o domínio de cada parte da função:
Para : A expressão é . Um polinômio como está definido para todos os números reais. Então, para , não tem problema.
Para : A expressão é . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, . Mas como essa parte da função já pede , está tudo certo.
Passo 4
Agora, unindo as duas partes:
A primeira parte vale para .
A segunda parte vale para .
Juntando esses intervalos, o domínio total da função é todos os números reais, ou seja, .
Passo 5
Vamos verificar a continuidade da função. A função será contínua em todo o seu domínio se:
Cada parte da função for contínua no seu intervalo.
As duas partes se liguem de forma suave no ponto onde mudam, que é .
é um polinômio e polinômios são sempre contínuos.
é contínua para .
No ponto de mudança, :
Limite pela esquerda: .
Limite pela direita: .
Valor da função em : .
Como os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função, a função é contínua em .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais () e ela é contínua em todos os pontos do seu domínio.