Determine os domínio das funções
dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
e mostrar que ela é contínua em todo esse domínio. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções, continuidade e entender como cada parte da função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente dependendo do valor de
.
Passo 3
Vamos determinar o domínio de cada parte da função:
-
Para
: A expressão é . Um polinômio como está definido para todos os números reais. Então, para , não tem problema. -
Para
: A expressão é . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, . Mas como essa parte da função já pede , está tudo certo.
Passo 4
Agora, unindo as duas partes:
- A primeira parte vale para
. - A segunda parte vale para
.
Juntando esses intervalos, o domínio total da função
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 5
Vamos verificar a continuidade da função. A função será contínua em todo o seu domínio se:
- Cada parte da função for contínua no seu intervalo.
- As duas partes se liguem de forma suave no ponto onde mudam, que é
.
-
é um polinômio e polinômios são sempre contínuos. -
é contínua para .
No ponto de mudança,
:
- Limite pela esquerda:
. - Limite pela direita:
. - Valor da função em
: .
Como os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função, a função é contínua em
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais (
) e ela é contínua em todos os pontos do seu domínio.